Determine um intervalo fechado
onde a equação abaixo possui solução. Justifique a existência de solução usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um intervalo fechado
em que a equação
tenha solução, e justificar a existência dessa solução usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Informações dadas que vamos usar: a equação fornece a função implícita
Informações dadas que vamos usar: a equação fornece a função implícita
e precisamos mostrar que existe pelo menos um
tal que
. Não é pedido para encontrar explicitamente a raiz, só um intervalo fechado que a contenha e a justificativa pelo TVI.
Passo 2
Defino a função que vou estudar:
Vou explicar por que
é contínua em todo
, porque a continuidade é hipótese do TVI. A função
é contínua e estritamente crescente em
, logo tem inversa definida em todo
; essa inversa é exatamente
. A inversa de uma função contínua e estritamente monotona é contínua, portanto
é contínua em todo
. A função
é contínua em todo
. Soma de funções contínuas é contínua, logo
é contínua em todo
, em particular em qualquer intervalo fechado que escolhermos.
Passo 3
Agora avalio
em pontos simples para tentar encontrar um par
com sinais opostos em
e
. Calculo:
Portanto
e
.
Passo 4
Vou enunciar o TVI (em palavras simples): se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e os valores
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um
tal que
. Aqui, as variáveis são
os extremos do intervalo e
o ponto interior onde a função se anula.
Passo 5
Aplicando o TVI ao nosso caso: já mostrei que
é contínua em todo
, logo é contínua em
. Temos
e
, com
. Assim, pelo TVI existe
tal que
Portanto a equação tem solução dentro do intervalo aberto
, e consequentemente dentro do intervalo fechado
.
Passo 6
(Pequeno comentário extra — útil na prova) Podemos também notar que a solução é única: a função
é estritamente crescente e
é estritamente crescente, então
é estritamente crescente; uma função estritamente crescente só pode ter no máximo uma raiz. Assim existe exatamente uma raiz em
. Se quiser, isso pode ajudar a garantir que
não contém mais de uma solução.