Determine um intervalo fechado [a, b] onde a equação abaixo possui solução. Justifique a existência de solução usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
\sqrt[3]{x}+x-1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um intervalo fechado [a,b] em que a equação
\sqrt[3]{x}+x-1=0
tenha solução, e justificar a existência dessa solução usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Informações dadas que vamos usar: a equação fornece a função implícita
f(x)=\sqrt[3]{x}+x-1,
e precisamos mostrar que existe pelo menos um c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=0. Não é pedido para encontrar explicitamente a raiz, só um intervalo fechado que a contenha e a justificativa pelo TVI.

Passo 2

Defino a função que vou estudar:
f(x)=\sqrt[3]{x}+x-1.
Vou explicar por que f é contínua em todo \mathbb{R}, porque a continuidade é hipótese do TVI. A função g(x)=x^3 é contínua e estritamente crescente em \mathbb{R}, logo tem inversa definida em todo \mathbb{R}; essa inversa é exatamente g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. A inversa de uma função contínua e estritamente monotona é contínua, portanto \sqrt[3]{x} é contínua em todo \mathbb{R}. A função h(x)=x é contínua em todo \mathbb{R}. Soma de funções contínuas é contínua, logo f(x) é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em qualquer intervalo fechado que escolhermos.

Passo 3

Agora avalio f em pontos simples para tentar encontrar um par (a,b) com sinais opostos em f(a) e f(b). Calculo:
f(0)=\sqrt[3]{0}+0-1=0+0-1=-1.
f(1)=\sqrt[3]{1}+1-1=1+1-1=1.
Portanto f(0)=-1<0 e f(1)=1>0.

Passo 4

Vou enunciar o TVI (em palavras simples): se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e os valores f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Aqui, as variáveis são a,b os extremos do intervalo e c o ponto interior onde a função se anula.

Passo 5

Aplicando o TVI ao nosso caso: já mostrei que f é contínua em todo \mathbb{R}, logo é contínua em [0,1]. Temos f(0)=-1 e f(1)=1, com f(0)\cdot f(1)=-1<0. Assim, pelo TVI existe c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=\sqrt[3]{c}+c-1=0.
Portanto a equação tem solução dentro do intervalo aberto (0,1), e consequentemente dentro do intervalo fechado [0,1].

Passo 6

(Pequeno comentário extra — útil na prova) Podemos também notar que a solução é única: a função \sqrt[3]{x} é estritamente crescente e x é estritamente crescente, então f(x)=\sqrt[3]{x}+x-1 é estritamente crescente; uma função estritamente crescente só pode ter no máximo uma raiz. Assim existe exatamente uma raiz em (0,1). Se quiser, isso pode ajudar a garantir que [0,1] não contém mais de uma solução.

Resposta

[0,1]

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