Calcule os limites abaixo: lim x (pi / 2)^+ e^sec x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x (pi / 2)^+ e^sec x. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites e funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a função secante ( sec x) perto de x = pi/2 e como isso afeta a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função secante é o inverso do cosseno, ou seja, sec x = 1cos x. Então, nosso limite fica lim x (pi / 2)^+ e^1cos x.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cos x quando x se aproxima de pi/2 pela direita (isso significa que estamos chegando a pi/2 a partir de valores maiores que pi/2). Sabemos que cos(pi/2) = 0. Quando x está um pouco acima de pi/2, o cosseno de x é negativo e se aproxima de zero.

Passo 4

Como cos x está se aproximando de zero pelo lado negativo, 1cos x vai se aproximar de -infty. Isso porque estamos dividindo 1 por um número cada vez menor e negativo, o que resulta em um valor cada vez mais negativo e grande em magnitude.

Passo 5

Agora, substituindo esse comportamento no nosso limite original: e^1cos x se torna e^-infty. Sabemos que e^-infty é igual a zero, já que a função exponencial decai para zero quando o expoente tende a menos infinito.

Resposta

Portanto, lim x (pi / 2)^+ e^sec x = 0.

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