Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{3}+7 x-3}{x^{4}-2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to +\infty}\frac{5x^{3}+7x-3}{x^{4}-2x+3}.
Esse é um limite de função racional quando x tende a infinito. Uma boa estratégia é comparar os graus dos polinômios: aqui o grau do denominador 4 é maior que o do numerador 3, o que sugere que o limite seja zero. Para ficar mais “formal”, vamos dividir numerador e denominador por x^{4}.

Passo 2

Dividindo cada termo por x^{4}, temos
\frac{5x^{3}+7x-3}{x^{4}-2x+3} =\frac{\frac{5x^{3}}{x^{4}}+\frac{7x}{x^{4}}-\frac{3}{x^{4}}} {\frac{x^{4}}{x^{4}}-\frac{2x}{x^{4}}+\frac{3}{x^{4}}} =\frac{\frac{5}{x}+\frac{7}{x^{3}}-\frac{3}{x^{4}}} {1-\frac{2}{x^{3}}+\frac{3}{x^{4}}}.

Passo 3

Quando x\to+\infty, todos os termos \tfrac{1}{x^{n}} tendem a zero. Então o numerador vai para 0 e o denominador vai para 1. Logo
\lim_{x\to +\infty}\frac{5x^{3}+7x-3}{x^{4}-2x+3} =\frac{0}{1}=0.

Resposta

0

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