Calcule os limites abaixo:
(b) (1,0 ponto) \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[\frac{\operatorname{sen} x}{x^{\varepsilon}}-40\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\left[\frac{\sin x}{x^{\varepsilon}}-40\right].
Informações dadas e pontos importantes a notar:
  • Está presente a função \sin x, que é limitada: |\sin x|\le 1 para todo x.
  • Há um parâmetro \varepsilon (não foi especificado no enunciado). O comportamento do termo \dfrac{\sin x}{x^{\varepsilon}} quando x\to-\infty depende do sinal de \varepsilon.
  • A pergunta é: qual é o valor do limite para os possíveis valores de \varepsilon?

Passo 2

Vamos analisar primeiro o caso mais comum e natural em problemas assim: \varepsilon>0. Aqui vamos mostrar que o termo \dfrac{\sin x}{x^{\varepsilon}} tende a zero quando x\to-\infty.
Explicação teórica necessária (pequena aula):
  • A desigualdade básica que usamos é |\sin x|\le 1. Isso vale para todo x.
  • Se \varepsilon>0, então |x|^{\varepsilon}\to\infty quando |x|\to\infty. Em particular, quando x\to-\infty tem-se |x|\to\infty, logo |x|^{\varepsilon}\to\infty.
  • Se o denominador cresce sem limite, a fração com numerador limitado tende a zero. Formalizamos isso com o Teorema do Aperto (Teorema do Sanduíche / Squeeze): se a(x)\le f(x)\le b(x) para todo x próximo do ponto e \lim a(x)=\lim b(x)=L, então \lim f(x)=L.
Aplicando isso aqui:
\left|\frac{\sin x}{x^{\varepsilon}}\right| \;=\;\frac{|\sin x|}{|x|^{\varepsilon}} \;\le\;\frac{1}{|x|^{\varepsilon}}.
Como \varepsilon>0 implica \dfrac{1}{|x|^{\varepsilon}}\to 0 quando x\to -\infty, pelo Teorema do Aperto segue que
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sin x}{x^{\varepsilon}}=0.

Passo 3

Agora usamos regras básicas de limites (a soma/diferença de limites): se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com ambos finitos, então \lim_{x\to a} (f(x)+g(x))=L+M.
Aplicando ao nosso caso, com f(x)=\dfrac{\sin x}{x^{\varepsilon}} e g(x)=-40 (que tem limite -40 trivialmente), obtemos para \varepsilon>0:
\lim_{x\to -\infty}\left[\frac{\sin x}{x^{\varepsilon}}-40\right] = \lim_{x\to -\infty}\frac{\sin x}{x^{\varepsilon}} \;-\; 40 = 0-40 = -40.

Passo 4

Comentário sobre outros casos de \varepsilon (para ficar completo e evitar surpresas na prova):
  • Se \varepsilon=0 então a expressão é \sin x-40. Como \sin x oscila entre -1 e 1, a função \sin x-40 oscila entre -41 e -39 e não tem limite quando x\to -\infty.
  • Se \varepsilon<0 então |x|^{\varepsilon}=1/|x|^{|\varepsilon|}\to 0 quando |x|\to\infty, logo \dfrac{\sin x}{x^{\varepsilon}} tem módulo que tende a +\infty (oscilando de sinal em geral), então o limite não existe como número real (diverge/oscila sem limite finito). Além disso, para certos valores não inteiros de \varepsilon a expressão x^{\varepsilon} pode nem estar bem definida no conjunto dos reais para x<0; portanto o caso \varepsilon<0 é problemático e, em todo caso, não produz um limite finito.

Resposta

-40 para \varepsilon>0.

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