Questão 2. (20 pts) Considere o sistema de ponto futuante normalizado
F(10,3,2,3)
com arredondamento.
a) Determine o maior número positivo representável no sistema e o conjunto de todos os números positivos representáveis com expoente igual
b) Represente, no sistema dado e usando arredondamento, os números a 0 .
0.1049, \quad 12.34, \quad 99.96
c) Para cada número do item anterior, calcule o erro absoluto e o erro relativo da representação obtida.
d) Efetue, em aritmética de ponto flutuante do sistema dado, o cálculo da expressão (12.3+0.061)-12.3,
supondo que cada operação é realizada no sistema com arredondamento. Compare com o valor exato e explique, brevemente, o fenômeno numérico observado.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de ponto flutuante normalizado F(10,3,2,3) com arredondamento e pede vários itens: (a) o maior número positivo representável e o conjunto de todos os números positivos representáveis com expoente igual; (b) representar, no sistema, os números 0,1049, 12,34 e 99,96 usando arredondamento; (c) para cada um do item (b) calcular erro absoluto e erro relativo; (d) computar em aritmética de ponto flutuante do sistema a expressão (12,3+0,061)-12,3 com arredondamento em cada operação e comparar com o valor exato explicando o fenômeno.
Observação importante (interpretação necessária): para poder representar números como 0,1049 e 0,061 é preciso que o limite inferior do expoente seja pelo menos -2. Vou interpretar o sistema como tendo base \beta=10, precisão t=3 dígitos significativos e faixa de expoentes L=-2 até U=3; isto é, F(10,3,-2,3). O formato normalizado é: todo número não nulo representável tem a forma
\pm(d_1.d_2 d_3)_{10}\times 10^{e},
com d_1\in\{1,\dots,9\}, d_2,d_3\in\{0,\dots,9\} e e inteiro com -2\le e\le 3. Arredondamento: cada operação (ou representação) é arredondada para o número representável mais próximo (empates arredondam para o mais próximo, convém interpretar como arredondamento ao mais próximo).

Passo 2

Primeiro, achar o maior número positivo representável no sistema.
  • O maior mantissa possível em base 10 com t=3 dígitos é 9{,}99 (isto é, d_1=9,d_2=9,d_3=9).
  • O maior expoente permitido é U=3.
    Logo o maior número positivo representável é
\text{máx} = 9{,}99\times 10^{3}.á
Calculemos numericamente:
9{,}99\times 10^{3} = 9{,}99\times 1000 = 9990.
Portanto o maior positivo representável é 9990.
Agora, determinar o conjunto de todos os números positivos representáveis com um expoente fixo e (onde -2\le e\le 3).
  • As mantissas possíveis são todos os m=d_1.d_2 d_3 com d_1\in\{1,\dots,9\} e d_2,d_3\in\{0,\dots,9\}. Há 9\times 10\times 10=900 mantissas diferentes.
  • Portanto, para um expoente fixo e o conjunto dos números positivos representáveis é
\{\, m\times 10^{e} \mid m\in\{1{,}00,1{,}01,\dots,9{,}99\}\,\}.
  • Em termos de intervalo, esses números vão de
1{,}00\times 10^{e}\quad\text{até}\quad 9{,}99\times 10^{e}.é
  • O espaçamento entre dois números consecutivos com o mesmo expoente e é 10^{e-3} (porque a menor alteração na mantissa é 0{,}001).
(Isto responde a parte da pergunta sobre “o conjunto de todos os números positivos representáveis com expoente igual”: a descrição acima vale para qualquer expoente e admissível; se for pedido um expoente específico, basta fixar e na fórmula.)

Passo 3

Representar os números do item (b) no sistema com arredondamento. Vou proceder número a número, passando para notação científica normalizada com 3 dígitos e arredondando.
  1. 0,1049.
  • Notação científica: 0,1049 = 1{,}049\times 10^{-1}.
  • Queremos 3 dígitos na mantissa: os três primeiros dígitos são 1{,}04 e o quarto dígito (para decidir o arredondamento) é 9.
  • Como o quarto dígito é 9\ge 5, arredondamos o terceiro dígito para cima: 1{,}049 \approx 1{,}05 (3 dígitos).
  • Assim a representação no sistema é
0,1049 \longrightarrow 1{,}05\times 10^{-1} = 0,105.
  1. 12,34.
  • Notação científica: 12,34 = 1{,}234\times 10^{1}.
  • Três dígitos: tomo 1{,}23 e o quarto dígito é 4<5, então não arredonda para cima.
  • Representação:
12,34 \longrightarrow 1{,}23\times 10^{1} = 12,3.
  1. 99,96.
  • Notação científica: 99,96 = 9{,}996\times 10^{1}.
  • Três dígitos: os três primeiros são 9{,}99 e o quarto dígito é 6\ge 5. Arredondando o terceiro dígito para cima faz 9{,}99\to 10{,}00.
  • Mas 10{,}00\times 10^{1} = 1{,}000\times 10^{2} e, com t=3, isso normaliza para 1{,}00\times 10^{2}.
  • Logo
99,96 \longrightarrow 1{,}00\times 10^{2} = 100.
Resumo das representações (arredondamento):
0,1049 \mapsto 0,105,\qquad 12,34 \mapsto 12,3,\qquad 99,96 \mapsto 100.

Passo 4

Calcular erro absoluto e erro relativo para cada número.
Definições (rápida explicação didática):
  • O erro absoluto é \lvert x - \widehat{x}\rvert, onde x é o valor exato e \widehat{x} a representação em ponto flutuante.
  • O erro relativo é \dfrac{\lvert x - \widehat{x}\rvert}{\lvert x\rvert}. Dá uma ideia do erro em relação ao tamanho do número.
  1. Para x=0,1049 e \widehat{x}=0,105:
\text{erro absoluto} = \lvert 0,1049-0,105\rvert = 0,0001.
\text{erro relativo} = \dfrac{0,0001}{0,1049}\approx 0,0009533\\ (\approx 9{,}533\times 10^{-4}).
  1. Para x=12,34 e \widehat{x}=12,3:
\text{erro absoluto} = \lvert 12,34-12,3\rvert = 0,04.
\text{erro relativo} = \dfrac{0,04}{12,34}\approx 0,00324\\ (\approx 3{,}24\times 10^{-3}).
  1. Para x=99,96 e \widehat{x}=100:
\text{erro absoluto} = \lvert 99,96-100\rvert = 0,04.
\text{erro relativo} = \dfrac{0,04}{99,96}\approx 0,0004002\\ (\approx 4{,}002\times 10^{-4}).

Passo 5

Item (d): calcular (12,3+0,061)-12,3 na aritmética do sistema, supondo arredondamento após cada operação.
Passo a passo (aliançando expoentes e arredondando em cada operação):
  • Representações iniciais (já verificadas): 12,3 = 1{,}23\times 10^{1},\qquad 0,061 = 6{,}10\times 10^{-2}.
  • Para somar 12,3 + 0,061 é preciso alinhar expoentes. Escrevendo 0,061 com expoente 1: 0,061 = 6{,}10\times 10^{-2} = 0{,}00610\times 10^{1}.
  • Soma das mantissas (em expoente 1): 1{,}23 + 0{,}00610 = 1{,}23610.
  • Agora arredondamos a mantissa para 3 dígitos: os três primeiros dígitos seriam 1{,}23 e o quarto dígito é 6\ge 5, logo arredonda-se o terceiro dígito para cima: 1{,}23610 \longrightarrow 1{,}24.
  • Assim a primeira operação produz (no sistema) 12,3 + 0,061 \longrightarrow 1{,}24\times 10^{1} = 12,4.
  • Agora subtrair 12,4 - 12,3. Em mantissas (expoente 1): 1{,}24 - 1{,}23 = 0{,}01,que corresponde a 0{,}01\times 10^{1} = 1{,}0\times 10^{-1} = 0,1.(Esta diferença é exatamente representável no sistema como 1{,}00\times 10^{-1}.)
  • Portanto o resultado final da expressão na aritmética do sistema é 0,1.
Comparação com o valor exato:
  • O valor exato de (12,3+0,061)-12,3 (matematicamente sem arredondamentos intermediários) é 0,061.
  • O resultado obtido na aritmética do sistema é 0,1. Há um erro absoluto de \lvert 0,1-0,061\rvert = 0,039e erro relativo aproximadamente 0,639 (isto é, cerca de 63{,}9\%).
Explicação do fenômeno (didática, e de forma direta):
  • Ao somar um número pequeno ( 0,061) com um número relativamente grande ( 12,3), a mantissa do menor precisa ser deslocada para alinhar expoentes e muitos dos seus dígitos ficam fora da janela dos t=3 dígitos significativos; isso torna a soma sujeita a arredondamento.
  • No nosso caso, a soma exata 12,361 foi arredondada para 12,4 (um aumento devido ao dígito seguinte), de modo que, quando subtraímos 12,3, o resultado não volta a 0,061 mas dá 0,1.
  • Esse efeito é conhecido como perda de precisão por cancelamento/absorção: a adição de um termo pequeno a um termo muito maior pode ser mal representada na aritmética finita, e a operação subsequente revela essa distorção. Uma regra prática: a ordem das operações e a magnitude relativa dos operandos podem mudar muito o resultado numérico em ponto flutuante.

Resposta

(a) Maior número positivo representável: 9{,}99\times 10^{3}=9990.
(a) Conjunto dos positivos com expoente fixo e ( -2\le e\le 3): \{\,m\times 10^{e}\mid m\in\{1{,}00,1{,}01,\dots,9{,}99\}\,\}, isto é do intervalo [1{,}00\times10^{e},\,9{,}99\times10^{e}] com espaçamento 10^{e-3}.
(b) Representações com arredondamento: 0,1049\mapsto 0,105,\quad 12,34\mapsto 12,3,\quad 99,96\mapsto 100.
(c) Erros (absoluto; relativo):
0,1049:\; 0,0001;\; 0,0009533\\ (\approx9{,}533\times10^{-4}).
12,34:\; 0,04;\; 0,00324\\ (\approx3{,}24\times10^{-3}).
99,96:\; 0,04;\; 0,0004002\\ (\approx4{,}002\times10^{-4}).
(d) Resultado em ponto flutuante (aritmética do sistema, arredondando após cada operação): (12,3+0,061)-12,3 \mapsto 0,1. Valor exato =0,061. Fenômeno: perda de precisão por alinhamento e arredondamento (absorção/cancelamento) quando soma-se um termo pequeno a um termo muito maior.

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