Questão 2. (20 pts) Considere o sistema de ponto futuante normalizado
com arredondamento.
a) Determine o maior número positivo representável no sistema e o conjunto de todos os números positivos representáveis com expoente igual
b) Represente, no sistema dado e usando arredondamento, os números a 0 .
c) Para cada número do item anterior, calcule o erro absoluto e o erro relativo da representação obtida.
d) Efetue, em aritmética de ponto flutuante do sistema dado, o cálculo da expressão
,
supondo que cada operação é realizada no sistema com arredondamento. Compare com o valor exato e explique, brevemente, o fenômeno numérico observado.
a) Determine o maior número positivo representável no sistema e o conjunto de todos os números positivos representáveis com expoente igual
b) Represente, no sistema dado e usando arredondamento, os números a 0 .
d) Efetue, em aritmética de ponto flutuante do sistema dado, o cálculo da expressão
supondo que cada operação é realizada no sistema com arredondamento. Compare com o valor exato e explique, brevemente, o fenômeno numérico observado.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de ponto flutuante normalizado
com arredondamento e pede vários itens: (a) o maior número positivo representável e o conjunto de todos os números positivos representáveis com expoente igual; (b) representar, no sistema, os números
,
e
usando arredondamento; (c) para cada um do item (b) calcular erro absoluto e erro relativo; (d) computar em aritmética de ponto flutuante do sistema a expressão
com arredondamento em cada operação e comparar com o valor exato explicando o fenômeno.
Observação importante (interpretação necessária): para poder representar números como
e
é preciso que o limite inferior do expoente seja pelo menos
. Vou interpretar o sistema como tendo base
, precisão
dígitos significativos e faixa de expoentes
até
; isto é,
. O formato normalizado é: todo número não nulo representável tem a forma
com
,
e
inteiro com
. Arredondamento: cada operação (ou representação) é arredondada para o número representável mais próximo (empates arredondam para o mais próximo, convém interpretar como arredondamento ao mais próximo).
Passo 2
Primeiro, achar o maior número positivo representável no sistema.
- O maior mantissa possível em base
com dígitos é (isto é, ). - O maior expoente permitido é
.
Logo o maior número positivo representável é
Calculemos numericamente:
Portanto o maior positivo representável é
.
Agora, determinar o conjunto de todos os números positivos representáveis com um expoente fixo
(onde
).
- As mantissas possíveis são todos os
com e . Há mantissas diferentes. - Portanto, para um expoente fixo
o conjunto dos números positivos representáveis é
- Em termos de intervalo, esses números vão de
- O espaçamento entre dois números consecutivos com o mesmo expoente
é (porque a menor alteração na mantissa é ).
(Isto responde a parte da pergunta sobre “o conjunto de todos os números positivos representáveis com expoente igual”: a descrição acima vale para qualquer expoente
admissível; se for pedido um expoente específico, basta fixar
na fórmula.)
Passo 3
Representar os números do item (b) no sistema com arredondamento. Vou proceder número a número, passando para notação científica normalizada com 3 dígitos e arredondando.
-
.
- Notação científica:
. - Queremos 3 dígitos na mantissa: os três primeiros dígitos são
e o quarto dígito (para decidir o arredondamento) é . - Como o quarto dígito é
, arredondamos o terceiro dígito para cima: (3 dígitos). - Assim a representação no sistema é
-
.
- Notação científica:
. - Três dígitos: tomo
e o quarto dígito é , então não arredonda para cima. - Representação:
-
.
- Notação científica:
. - Três dígitos: os três primeiros são
e o quarto dígito é . Arredondando o terceiro dígito para cima faz . - Mas
e, com , isso normaliza para . - Logo
Resumo das representações (arredondamento):
Passo 4
Calcular erro absoluto e erro relativo para cada número.
Definições (rápida explicação didática):
- O erro absoluto é
, onde é o valor exato e a representação em ponto flutuante. - O erro relativo é
. Dá uma ideia do erro em relação ao tamanho do número.
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
Passo 5
Item (d): calcular
na aritmética do sistema, supondo arredondamento após cada operação.
Passo a passo (aliançando expoentes e arredondando em cada operação):
- Representações iniciais (já verificadas):
- Para somar
é preciso alinhar expoentes. Escrevendo com expoente : - Soma das mantissas (em expoente
): - Agora arredondamos a mantissa para 3 dígitos: os três primeiros dígitos seriam
e o quarto dígito é , logo arredonda-se o terceiro dígito para cima: - Assim a primeira operação produz (no sistema)
- Agora subtrair
. Em mantissas (expoente ): que corresponde a (Esta diferença é exatamente representável no sistema como .) - Portanto o resultado final da expressão na aritmética do sistema é
.
Comparação com o valor exato:
- O valor exato de
(matematicamente sem arredondamentos intermediários) é . - O resultado obtido na aritmética do sistema é
. Há um erro absoluto de e erro relativo aproximadamente (isto é, cerca de ).
Explicação do fenômeno (didática, e de forma direta):
- Ao somar um número pequeno (
) com um número relativamente grande ( ), a mantissa do menor precisa ser deslocada para alinhar expoentes e muitos dos seus dígitos ficam fora da janela dos dígitos significativos; isso torna a soma sujeita a arredondamento. - No nosso caso, a soma exata
foi arredondada para (um aumento devido ao dígito seguinte), de modo que, quando subtraímos , o resultado não volta a mas dá . - Esse efeito é conhecido como perda de precisão por cancelamento/absorção: a adição de um termo pequeno a um termo muito maior pode ser mal representada na aritmética finita, e a operação subsequente revela essa distorção. Uma regra prática: a ordem das operações e a magnitude relativa dos operandos podem mudar muito o resultado numérico em ponto flutuante.
Resposta
(a) Maior número positivo representável:
(a) Conjunto dos positivos com expoente fixo (
):
, isto é do intervalo
com espaçamento
.
(b) Representações com arredondamento:
(c) Erros (absoluto; relativo):
(d) Resultado em ponto flutuante (aritmética do sistema, arredondando após cada operação): . Valor exato
. Fenômeno: perda de precisão por alinhamento e arredondamento (absorção/cancelamento) quando soma-se um termo pequeno a um termo muito maior.
(a) Conjunto dos positivos com expoente fixo
(b) Representações com arredondamento:
(c) Erros (absoluto; relativo):
(d) Resultado em ponto flutuante (aritmética do sistema, arredondando após cada operação):