Calcule os limites abaixo ou prove que não existe (sem usar a regra de L’Hospital).
Passo 1
O problema pede que calculemos o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas: a expressão contém uma raiz quadrada de um polinômio quadrático no numerador e uma expressão linear no denominador; o comportamento desejado é quando
vai para
. Não usar a regra de L’Hospital.
Passo 2
Vamos escolher um método: simplificar a expressão algébrica fatorando
dentro da raiz e usar propriedades elementares de limites e de valor absoluto. Vou explicar a peça chave:
. Isso é verdade porque a raiz quadrada retorna um número não negativo, e
é exatamente a versão não negativa de
. Para
negativo (como quando
), temos
. Esse fato é essencial para manipular a raiz sem ambiguidade de sinal.
Passo 3
Fatoramos
dentro da raiz para expor o módulo:
Pelo fato da raiz de um produto e da propriedade
, obtemos
Passo 4
Como estamos tomando
,
é negativo então
. Substituindo no quociente:
Agora dividimos numerador e denominador por
(que é diferente de zero para
grande em módulo) para simplificar:
Passo 5
Aplicamos regras básicas de limites e continuidade. Quando
temos
A função
é contínua para
, então
e o denominador
. Portanto o limite do quociente simplificado é
(Comentário rápido para conferir: para um
grande e negativo, o numerador comporta-se como
e o denominador como
, logo o quociente tende a
.)