Calcule os limites abaixo ou prove que não existe (sem usar a regra de L’Hospital).
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{25 x^{2}+3 x-1}}{4 x+1}

Passo 1

O problema pede que calculemos o seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{25x^{2}+3x-1}}{4x+1}.
Informações dadas: a expressão contém uma raiz quadrada de um polinômio quadrático no numerador e uma expressão linear no denominador; o comportamento desejado é quando x vai para -\infty. Não usar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Vamos escolher um método: simplificar a expressão algébrica fatorando x^{2} dentro da raiz e usar propriedades elementares de limites e de valor absoluto. Vou explicar a peça chave: \sqrt{x^{2}}=|x|. Isso é verdade porque a raiz quadrada retorna um número não negativo, e |x| é exatamente a versão não negativa de x. Para x negativo (como quando x\to -\infty), temos |x|=-x. Esse fato é essencial para manipular a raiz sem ambiguidade de sinal.

Passo 3

Fatoramos x^{2} dentro da raiz para expor o módulo:
\sqrt{25x^{2}+3x-1}=\sqrt{x^{2}\left(25+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}.
Pelo fato da raiz de um produto e da propriedade \sqrt{x^{2}}=|x|, obtemos
\sqrt{25x^{2}+3x-1}=|x|\sqrt{25+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Como estamos tomando x\to -\infty, x é negativo então |x|=-x. Substituindo no quociente:
\frac{\sqrt{25x^{2}+3x-1}}{4x+1}=\frac{-x\sqrt{25+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}}}{4x+1}.
Agora dividimos numerador e denominador por x (que é diferente de zero para x grande em módulo) para simplificar:
\frac{-x\sqrt{25+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}}}{4x+1} =\frac{-\sqrt{25+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}}}{4+\frac{1}{x}}.

Passo 5

Aplicamos regras básicas de limites e continuidade. Quando x\to -\infty temos
\frac{3}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{2}}\to 0.
A função t\mapsto\sqrt{t} é contínua para t>0, então
\sqrt{25+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}}\longrightarrow \sqrt{25}=5,
e o denominador 4+\frac{1}{x}\longrightarrow 4. Portanto o limite do quociente simplificado é
\lim_{x\to -\infty}\frac{-\sqrt{25+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}}}{4+\frac{1}{x}}=\frac{-5}{4}.
(Comentário rápido para conferir: para um x grande e negativo, o numerador comporta-se como -5 e o denominador como 4, logo o quociente tende a -5/4.)

Resposta

-\dfrac{5}{4}

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