Sejam a\) e \(b\) números reais e definida \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por \[\begin{cases}x^{2}+a \cos (\pi x), & x<-1 \\\\ 1+e^{x}, & -1 \leq x \leq 1, \\\ b \operatorname{sen}(\pi x), & x>1\end{cases}
Existe a de forma que f\] seja contínua em \(x=-1 ? Se sim, determine-o.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)=\begin{cases} x^{2}+a\cos(\pi x), & x<-1,\\[4pt] 1+e^{x}, & -1\le x\le 1,\\[4pt] b\operatorname{sen}(\pi x), & x>1, \end{cases}
onde a\] e \(b são números reais (ou seja, constantes desconhecidas). As perguntas são:
  1. Existe algum valor de a tal que f seja contínua em x=-1?
  2. Se existir, determine esse(s) valor(es) de a.
As informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar são as três expressões que definem f em cada intervalo e o fato de que o ponto de interesse é x=-1.]

Passo 2

Entendendo o que significa ser contínua em x=-1. Vou explicar de forma bem direta: uma função f é contínua em um ponto x_0 quando o valor da função em x_0 coincide com o limite quando nos aproximamos de x_0. Como aproximações podem vir pela esquerda ou pela direita, isso equivale a exigir que:
\lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0).
Aqui x_0=-1. Então precisamos que o limite pela esquerda em -1 (usando a expressão válida para x<-1) seja igual ao valor de f em -1 (obtido usando a expressão do trecho -1\le x\le1). Nota importante: o limite pela direita em -1 é calculado com a mesma expressão que dá f(-1), porque a peça do meio inclui -1; isso significa que o limite pela direita já coincide com f(-1). Portanto a condição de continuidade em -1 se reduz a exigir que o limite pela esquerda iguale esse valor comum.

Passo 3

Calcule f(-1) usando a definição no trecho -1\le x\le1. Substituindo x=-1 em 1+e^{x} temos
f(-1)=1+e^{-1}.
Reescrevendo de forma prática, isto é 1+\dfrac{1}{e} ou 1+e^{-1}. Este é o valor que a parte direita (e o próprio valor da função em -1) assume.

Passo 4

Calcule o limite pela esquerda \lim_{x\to -1^-} f(x). Para x<-1 a função é x^{2}+a\cos(\pi x). Como polinômios, a função x^{2} e a função \cos(\pi x) são contínuas em todos os reais, o limite quando x\to -1 da soma é simplesmente a soma dos valores avaliados em -1. Assim
\lim_{x\to -1^-} f(x)=(-1)^{2}+a\cos(\pi\cdot(-1)).
Vamos simplificar: (-1)^{2}=1. E \cos(\pi\cdot(-1))=\cos(-\pi). Como \cos é função par, \cos(-\pi)=\cos(\pi). E \cos(\pi)=-1. Então
\lim_{x\to -1^-} f(x)=1+a\cdot(-1)=1-a.

Passo 5

Imponha a condição de continuidade: o limite à esquerda deve igualar f(-1). Ou seja
1-a=1+e^{-1}.
Agora resolvemos essa equação para a. Subtraindo 1 de ambos os lados obtemos
-a=e^{-1}.
Multiplicando por -1 vem
a=-e^{-1}.
Em forma alternativa, a=-\dfrac{1}{e}.

Passo 6

Conclusão e comentário final. Existe sim um valor de a que garante continuidade de f em x=-1; ele é único (a equação linear em a teve uma única solução). O valor de b não aparece na condição de continuidade em -1 porque a peça com b só atua para x>1 e portanto não influencia limites ou valor no ponto x=-1.

Resposta

Sim.
a=-\dfrac{1}{e}

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