Sejam
Existe a de forma que
? Se sim, determine-o.
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
são números reais (ou seja, constantes desconhecidas). As perguntas são:
- Existe algum valor de
tal que seja contínua em ? - Se existir, determine esse(s) valor(es) de
.
As informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar são as três expressões que definem
em cada intervalo e o fato de que o ponto de interesse é
.]
Passo 2
Entendendo o que significa ser contínua em
. Vou explicar de forma bem direta: uma função
é contínua em um ponto
quando o valor da função em
coincide com o limite quando nos aproximamos de
. Como aproximações podem vir pela esquerda ou pela direita, isso equivale a exigir que:
Aqui
. Então precisamos que o limite pela esquerda em
(usando a expressão válida para
) seja igual ao valor de
em
(obtido usando a expressão do trecho
). Nota importante: o limite pela direita em
é calculado com a mesma expressão que dá
, porque a peça do meio inclui
; isso significa que o limite pela direita já coincide com
. Portanto a condição de continuidade em
se reduz a exigir que o limite pela esquerda iguale esse valor comum.
Passo 3
Calcule
usando a definição no trecho
. Substituindo
em
temos
Reescrevendo de forma prática, isto é
ou
. Este é o valor que a parte direita (e o próprio valor da função em
) assume.
Passo 4
Calcule o limite pela esquerda
. Para
a função é
. Como polinômios, a função
e a função
são contínuas em todos os reais, o limite quando
da soma é simplesmente a soma dos valores avaliados em
. Assim
Vamos simplificar:
. E
. Como
é função par,
. E
. Então
Passo 5
Imponha a condição de continuidade: o limite à esquerda deve igualar
. Ou seja
Agora resolvemos essa equação para
. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Multiplicando por
vem
Em forma alternativa,
.
Passo 6
Conclusão e comentário final. Existe sim um valor de
que garante continuidade de
em
; ele é único (a equação linear em
teve uma única solução). O valor de
não aparece na condição de continuidade em
porque a peça com
só atua para
e portanto não influencia limites ou valor no ponto
.
Resposta
Sim.