Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow-2}\left(3 x^{2}-2 x+7\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a -2:
\lim_{x\to -2}\left(3x^{2}-2x+7\right).
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é o polinômio 3x^{2}-2x+7.
  • O ponto de aproximação é x=-2.

Passo 2

Vamos revisar as propriedades de limites que vou usar (explicadas passo a passo).
  • Regra da soma: se existem \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x), então
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x).
Aqui f e g são quaisquer funções com limites definidos em a.
  • Regra da multiplicação por constante: para qualquer constante c,
\lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a} f(x).
  • Regra do produto e da potência (casos usados): se \lim_{x\to a} f(x)=L, então
\lim_{x\to a} \big(f(x)\big)^{n}=L^{n},
para inteiro n\ge 1. Em particular, \lim_{x\to a} x = a, portanto \lim_{x\to a} x^{2}=a^{2}.
Essas regras nos permitem avaliar limites de polinômios simplesmente substituindo x por a quando todas as operações envolvem soma, multiplicação e potência inteira positiva.

Passo 3

Aplicando as regras acima ao nosso limite, dividimos o polinômio em partes e usamos linearidade:
\lim_{x\to -2}\left(3x^{2}-2x+7\right) = \lim_{x\to -2} 3x^{2} \;-\; \lim_{x\to -2} 2x \;+\; \lim_{x\to -2} 7.
Cada termo será tratado separadamente usando as regras de constante, potência e soma.

Passo 4

Calcular cada sublimite:
  • Para o primeiro termo, pela regra da constante e da potência,
\lim_{x\to -2} 3x^{2} = 3\cdot \lim_{x\to -2} x^{2} = 3\cdot (-2)^{2}.
  • Para o segundo termo,
\lim_{x\to -2} 2x = 2\cdot \lim_{x\to -2} x = 2\cdot (-2).
  • Para o terceiro termo, uma constante tem limite igual a si mesma:
\lim_{x\to -2} 7 = 7.

Passo 5

Agora fazemos as contas simples sem pular etapas:
(-2)^{2} = 4,
3\cdot 4 = 12,
2\cdot (-2) = -4.
Substituindo nos sublimites e lembrando do sinal do segundo termo (no polinômio era -2x, então o termo que subtraímos é \lim_{x\to -2} 2x = -4, mas na expressão original temos -\lim 2x; para evitar confusão, evaluate diretamente:)
\lim_{x\to -2}\left(3x^{2}-2x+7\right)=12 - (-4) + 7.
Note que -2x avaliado em x=-2 é -2\cdot(-2)=+4; a forma com os limites dá o mesmo resultado.

Passo 6

Somando os valores:
12 - (-4) + 7 = 12 + 4 + 7 = 23.

Resposta

23

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