Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 4}\left(5 x^{2}-9 x-8\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 4}\left(5x^{2}-9x-8\right).
Informações dadas:
  • A expressão cujo limite é pedido é o polinômio \,5x^{2}-9x-8\,.
  • O ponto onde o limite é tomado é x=4.
O que se quer: o valor numérico do limite quando x se aproxima de 4.

Passo 2

Vamos lembrar propriedades de limites que usaremos (explicadas de forma bem prática):
  1. Linearidade dos limites (soma e multiplicação por constante):
\lim_{x\to a}\big( f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\big( c\cdot f(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x),
onde c é uma constante. Essas propriedades dizem na prática que dá para quebrar uma soma em limites menores e tirar constantes para fora do limite.
  1. Regra da potência (continuidade dos polinômios e funções potência):
\lim_{x\to a} x^{n}=a^{n}
para qualquer inteiro n\ge 0. Isso vem do fato de que polinômios são funções contínuas, então o limite no ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto.
Comentário amigo: resumindo, para polinômios — como esse aqui — não precisamos de truques: basta substituir x=a depois de usar a linearidade para separar termos.

Passo 3

Aplicando a linearidade do limite ao nosso polinômio, escrevemos
\lim_{x\to 4}\left(5x^{2}-9x-8\right) = 5\cdot\lim_{x\to 4}x^{2}-9\cdot\lim_{x\to 4}x-\lim_{x\to 4}8.
Aqui usei que a constante 5 e -9 saem do limite, e que o limite de uma diferença é a diferença dos limites.

Passo 4

Agora avaliamos cada um desses limites usando a regra da potência e o fato de que o limite de uma constante é a própria constante:
\lim_{x\to 4}x^{2}=4^{2}=16,
\lim_{x\to 4}x=4,
\lim_{x\to 4}8=8.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do Passo 3:
5\cdot 16 - 9\cdot 4 - 8.
Vamos calcular passo a passo:
5\cdot 16 = 80,
9\cdot 4 = 36,
então
80 - 36 - 8.

Passo 6

Fazendo a subtração:
80-36 = 44,
44-8 = 36.

Resposta

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