Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 1}(-2 x+5)^{4}

Passo 1

O enunciado dá a expressão cujo limite precisamos calcular quando x tende a 1:
\lim_{x\to 1} \bigl(-2x+5\bigr)^{4}.
A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Lembrete das propriedades de limites que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então \lim_{x\to a} \bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} g(x),e \lim_{x\to a} \bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot\lim_{x\to a} f(x)para qualquer constante c.
  • Funções polinomiais são contínuas em todo ponto: isso significa que o limite de um polinômio quando x\to a é só o valor do polinômio em a.
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=L e n é um inteiro positivo, então \lim_{x\to a} \bigl(f(x)\bigr)^{n}=L^{n},porque a função potência t\mapsto t^{n} é contínua para n inteiro positivo.
    Essas regras permitem calcular o limite em etapas: primeiro o limite de -2x+5, depois elevar o resultado à quarta potência.

Passo 3

Calcular o limite interno \lim_{x\to 1}(-2x+5) usando as propriedades:
  • Primeiro \lim_{x\to 1} x = 1.
  • Então, pela propriedade do múltiplo constante, \lim_{x\to 1} (-2x) = -2\cdot\lim_{x\to 1} x = -2\cdot 1 = -2.
  • Somando a constante 5, \lim_{x\to 1} (-2x+5) = \lim_{x\to 1} (-2x) + \lim_{x\to 1} 5 = -2 + 5 = 3.

Passo 4

Agora use a continuidade da função potência de expoente inteiro positivo: como
\lim_{x\to 1}(-2x+5)=3, vale
\lim_{x\to 1} \bigl(-2x+5\bigr)^{4} = \bigl(\lim_{x\to 1} (-2x+5)\bigr)^{4} = 3^{4}.

Passo 5

Calcule 3^{4}:
3^{2}=9,\qquad 3^{4}=(3^{2})^{2}=9^{2}=81.
Portanto o valor do limite é 81.

Resposta

81

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