Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o seguinte limite usando propriedades de limites:
Informações dadas: a expressão dentro do limite é a função identidade
e o ponto de aproximação é
. Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Entendendo o que significa calcular esse limite (intuição): aproximar
cada vez mais de
e ver para que valor a expressão
tende. Como a própria expressão é exatamente a variável
, esperaríamos que, ao aproximar
de
, o valor de
também fique cada vez mais próximo de
. Logo, intuitivamente, o limite deve ser
.
Passo 3
Vamos usar uma justificativa formal simples (argumento
-
) para consolidar essa intuição. Defina a função
. Para provar que
precisamos mostrar que para todo
existe
tal que, sempre que
, então
.
Passo 4
Calculemos
diretamente:
Se escolhermos
, então sempre que
teremos
Isso mostra exatamente a condição necessária da definição
-
. Portanto a prova formal está completa e o limite vale
.
Passo 5
Uma observação prática (útil na prova): a função identidade
é contínua em todo ponto, então vale a regra de substituição direta para limites de funções contínuas:
Assim, sem precisar do
-
cada vez, pode-se diretamente substituir
por
quando a função for contínua no ponto.