Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow-2} x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o seguinte limite usando propriedades de limites:
\lim_{x\to -2} x.
Informações dadas: a expressão dentro do limite é a função identidade f(x)=x e o ponto de aproximação é x\to -2. Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que significa calcular esse limite (intuição): aproximar x cada vez mais de -2 e ver para que valor a expressão x tende. Como a própria expressão é exatamente a variável x, esperaríamos que, ao aproximar x de -2, o valor de x também fique cada vez mais próximo de -2. Logo, intuitivamente, o limite deve ser -2.

Passo 3

Vamos usar uma justificativa formal simples (argumento \varepsilon- \delta) para consolidar essa intuição. Defina a função f(x)=x. Para provar que
\lim_{x\to -2} f(x) = -2
precisamos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-(-2)|<\delta, então |f(x)-(-2)|<\varepsilon.

Passo 4

Calculemos |f(x)-(-2)| diretamente:
|f(x)-(-2)| = |x+2| = |x-(-2)|.
Se escolhermos \delta=\varepsilon, então sempre que 0<|x-(-2)|<\delta teremos
|f(x)-(-2)| = |x-(-2)| < \delta = \varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição necessária da definição \varepsilon- \delta. Portanto a prova formal está completa e o limite vale -2.

Passo 5

Uma observação prática (útil na prova): a função identidade f(x)=x é contínua em todo ponto, então vale a regra de substituição direta para limites de funções contínuas:
\lim_{x\to a} x = a.
Assim, sem precisar do \varepsilon- \delta cada vez, pode-se diretamente substituir x por -2 quando a função for contínua no ponto.

Resposta

-2

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