Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{e^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{e^{x}-1}
utilizando o Teorema de L’Hospital, que se aplica em indetermina\c{c}~oes do tipo 0/0 ou \infty/\infty.

Passo 2

Verificamos as condi\c{c}~oes para x\to 0:
\lim_{x\to 0}x = 0, \quad \lim_{x\to 0}(e^{x}-1)=e^{0}-1=0,
logo temos uma indetermina\c{c}~ao 0/0. As fun\c{c}~oes x e e^{x}-1 s~ao diferenci’aveis num intervalo aberto que cont’em 0, e a derivada de e^{x}-1 `e e^{x}, que n~ao se anula pr’oximo de x=0. Portanto, podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1, \quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-1\bigr)=e^{x}.
Assim,
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{e^{x}-1} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{e^{x}}.

Passo 4

A nova expressão já não é indeterminada e é contínua em x=0. Substituindo x=0 temos
\frac{1}{e^{0}} = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados