Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}+x}-\frac{1}{\cos x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\Bigl(\frac{1}{x^{2}+x}-\frac{1}{\cos x-1}\Bigr)
usando a regra de L’Hospital. Note que, ao substituir x=0, cada termo diverge ( \infty), de modo que a express~ao \infty-\infty. Para aplicar L’Hospital, vamos primeiro reescrever essa diferen\ca como uma \unica fra\cao.

Passo 2

Combinando em uma só fração, temos
\frac{1}{x^{2}+x}-\frac{1}{\cos x-1} =\frac{(\cos x-1)-(\,x^{2}+x\,)}{(x^{2}+x)\,(\cos x-1)}.
Definimos
N(x)=\cos x-1 - x^{2}-x, \quad D(x)=(x^{2}+x)(\cos x-1),
para estudar
\lim_{x\to0}\frac{N(x)}{D(x)}.

Passo 3

Verificamos que
N(0)=\cos0-1 -0-0=0, \quad D(0)=(0+0)(\cos0-1)=0,
logo 'e forma 0/0. Alm’e disso, para x pr’oximo de 0 (mas x\neq0) temos \cos x-1\neq0, de modo que D'(x)\neq0 num entorno de 0, satisfazendo as condi\coes de L’Hospital.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
N'(x)=-\sin x -2x -1,
D'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[(x^{2}+x)(\cos x-1)\bigr] =(2x+1)(\cos x-1)-(x^{2}+x)\,\sin x.

Passo 5

Pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to0}\frac{N(x)}{D(x)} =\lim_{x\to0}\frac{N'(x)}{D'(x)} =\lim_{x\to0}\frac{-\sin x -2x -1}{(2x+1)(\cos x-1)-(x^{2}+x)\sin x}.

Passo 6

Ao avaliar perto de 0, nota-se que N'(x)\to -1 e, expandindo D'(x) em série, obtém-se o termo dominante
D'(x)\sim -\tfrac32\,x^{2} \quad\text{quando }x\to0.
Assim,
\frac{N'(x)}{D'(x)}\sim\frac{-1}{-\tfrac32\,x^{2}} =\frac{2}{3\,x^{2}} \to+\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados