Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a regra de L’Hospital. Note que, ao substituir
, cada termo diverge (
), de modo que a express~ao
. Para aplicar L’Hospital, vamos primeiro reescrever essa diferen\ca como uma \unica fra\cao.
Passo 2
Combinando em uma só fração, temos
Definimos
para estudar
Passo 3
Verificamos que
logo 'e forma
. Alm’e disso, para
pr’oximo de
(mas
) temos
, de modo que
num entorno de
, satisfazendo as condi\coes de L’Hospital.
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Passo 5
Pela regra de L’Hospital,
Passo 6
Ao avaliar perto de
, nota-se que
e, expandindo
em série, obtém-se o termo dominante
Assim,