Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2} x}{\operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x}{\sin^2 x}
usando a regra de L’Hospital. Trata-se de um limite envolvendo funções diferenciáveis (polinomial e trigonométrica) que pode apresentar forma indeterminada.

Passo 2

Substituindo x=0 no numerador e no denominador, temos
x^2 - \sin^2 x \;\longrightarrow\;0-0=0,
\sin^2 x \;\longrightarrow\;0,
logo a forma é \tfrac{0}{0}. As funções são diferenciáveis num entorno de 0 e a derivada do denominador não se anula identicamente, de modo que podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador uma vez:
\frac{d}{dx}\bigl(x^2 - \sin^2 x\bigr)=2x - 2\sin x\cos x,
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^2 x\bigr)=2\sin x\cos x.
O limite passa a ser
\lim_{x\to 0}\frac{2x - 2\sin x\cos x}{2\sin x\cos x} =\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x\cos x}{\sin x\cos x}.

Passo 4

Ainda obtemos forma \tfrac{0}{0} em x=0, então aplicamos L’Hospital pela segunda vez. Derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(x - \sin x\cos x\bigr) =1 - (\cos^2 x - \sin^2 x)=2\sin^2 x,
\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\cos x\bigr)=\cos^2 x - \sin^2 x.
O limite reduz-se a
\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2 x}{2(\cos^2 x - \sin^2 x)} =\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}.

Passo 5

Quando x\to 0, \sin^2 x\to 0 e \cos^2 x - \sin^2 x\to 1. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}=0.

Resposta

0

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