Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
Passo 1
O enunciado pede calcular
usando a regra de L’Hospital. Trata-se de um limite envolvendo funções diferenciáveis (polinomial e trigonométrica) que pode apresentar forma indeterminada.
Passo 2
Substituindo
no numerador e no denominador, temos
logo a forma é
. As funções são diferenciáveis num entorno de
e a derivada do denominador não se anula identicamente, de modo que podemos aplicar L’Hospital.
Passo 3
Derivando numerador e denominador uma vez:
O limite passa a ser
Passo 4
Ainda obtemos forma
em
, então aplicamos L’Hospital pela segunda vez. Derivadas:
O limite reduz-se a
Passo 5
Quando
,
e
. Portanto