Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{2 x-1}{2 x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to -\infty}\Bigl(\frac{2x-1}{2x+1}\Bigr)^{x}
usando o segundo limite fundamental
\lim_{u\to\infty}\Bigl(1+\frac1u\Bigr)^{u}=e.
O conteúdo aqui é de limites do tipo exponencial, em que a base tende a 1 e o expoente tende a -\infty.

Passo 2

Reescrevemos a fração de modo a destacar um fator que tende a 1:
\frac{2x-1}{2x+1} =\frac{2x\bigl(1-\tfrac1{2x}\bigr)}{2x\bigl(1+\tfrac1{2x}\bigr)} =\frac{1-\tfrac1{2x}}{1+\tfrac1{2x}}.
Assim
\Bigl(\frac{2x-1}{2x+1}\Bigr)^{x} =\Bigl(\frac{1-\tfrac1{2x}}{1+\tfrac1{2x}}\Bigr)^{x}.

Passo 3

Definimos
L=\lim_{x\to-\infty}\Bigl(\frac{1-\tfrac1{2x}}{1+\tfrac1{2x}}\Bigr)^{x}
e usamos o truque de tomar o logaritmo:
\ln L =\lim_{x\to-\infty}x\;\ln\!\Bigl(\frac{1-\tfrac1{2x}}{1+\tfrac1{2x}}\Bigr) =\lim_{x\to-\infty}x\Bigl[\ln\bigl(1-\tfrac1{2x}\bigr)-\ln\bigl(1+\tfrac1{2x}\bigr)\Bigr].

Passo 4

Para x\to-\infty, \tfrac1{2x}\to0, e usamos a expansão \ln(1+u)\approx u para u\to0:
x\,\ln\bigl(1-\tfrac1{2x}\bigr)\approx x\Bigl(-\tfrac1{2x}\Bigr)=-\tfrac12, \qquad x\,\ln\bigl(1+\tfrac1{2x}\bigr)\approx x\Bigl(\tfrac1{2x}\Bigr)=\tfrac12.
Logo
\ln L =\bigl(-\tfrac12\bigr)\;-\;\bigl(\tfrac12\bigr)=-1.
Portanto L=e^{-1}.

Resposta

\lim_{x\to-\infty}\Bigl(\frac{2x-1}{2x+1}\Bigr)^{x}=e^{-1}.

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