Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x-1}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{3x+2}{3x-1}\Bigr)^{2x}
usando o segundo limite fundamental
\lim_{t\to\infty}\Bigl(1+\frac1t\Bigr)^t = e.
O conteúdo aqui é tratar a forma indeterminada (1+\text{pequena})^{\text{grande}}. Vamos reescrever a base como 1+ algo pequeno e depois usar expansão de \ln(1+u).

Passo 2

Fatoramos 3x na fração para expor termos pequenos:
\frac{3x+2}{3x-1} =\frac{3x\bigl(1+\tfrac{2}{3x}\bigr)}{3x\bigl(1-\tfrac{1}{3x}\bigr)} =\frac{1+\tfrac{2}{3x}}{1-\tfrac{1}{3x}}.

Passo 3

Chamemos
L=\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{3x+2}{3x-1}\Bigr)^{2x}.
Para lidar com potência variável, tomamos logaritmo:
\ln L =\lim_{x\to -\infty}2x\;\ln\!\Bigl(\frac{1+\tfrac{2}{3x}}{1-\tfrac{1}{3x}}\Bigr) = \lim_{x\to -\infty}2x\Bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{2}{3x}\bigr)-\ln\bigl(1-\tfrac{1}{3x}\bigr)\Bigr].

Passo 4

Usamos a expansão para \ln(1+u) quando u\to0:
\ln(1+u)=u+o(u).
Aqui u_1=\tfrac{2}{3x} e u_2=-\tfrac{1}{3x}. Logo,
\ln\bigl(1+\tfrac{2}{3x}\bigr)=\tfrac{2}{3x}+o\bigl(\tfrac1x\bigr), \quad \ln\bigl(1-\tfrac{1}{3x}\bigr)=-\tfrac{1}{3x}+o\bigl(\tfrac1x\bigr).

Passo 5

Substituindo na expressão de \ln L:
\ln L =\lim_{x\to -\infty}2x\Bigl[\tfrac{2}{3x}+ \tfrac{1}{3x} +o\bigl(\tfrac1x\bigr)\Bigr] =\lim_{x\to -\infty}2x\cdot\frac{3}{3x} =\lim_{x\to -\infty}2 =2.

Passo 6

Como \ln L\to2, concluímos que
L = e^{\,2}.

Resposta

\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{3x+2}{3x-1}\Bigr)^{2x} = e^{2}.

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