Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{tg}(x)}{\operatorname{tg}(3 x)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{tg}(x)}{\operatorname{tg}(3x)}
ou seja, escrever a mesma expressão com notação usual e listar as informações relevantes:
  • A função a avaliar é \dfrac{\tan(x)}{\tan(3x)}.
  • O ponto de interesse é x=\dfrac{\pi}{2}.
  • Preciso verificar se a regra de L’Hôpital pode ser aplicada e, se puder, usá-la para obter o limite.

Passo 2

Verificar o tipo de indeterminação substituindo cada parte:
  • \tan(x) quando x\to\dfrac{\pi}{2} tende a infinito (já que \cos x\to0).
  • \tan(3x) quando x\to\dfrac{\pi}{2} tem 3x\to\dfrac{3\pi}{2} e também tende a infinito.
    Portanto a forma é \dfrac{\infty}{\infty}, uma indeterminação onde L’Hôpital pode ser aplicável. Para manipular de forma mais direta, reescrevo a razão em termos de seno e cosseno:
\frac{\tan(x)}{\tan(3x)}=\frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}}{\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}}=\frac{\sin x\cos 3x}{\cos x\sin 3x}.
Agora avalio numerador e denominador separadamente no ponto:
  • \sin x\cos 3x \to 1\cdot 0 =0,
  • \cos x\sin 3x \to 0\cdot(-1)=0.
    Assim, nesta forma obtemos a indeterminação 0/0, que é adequada para aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Lembrete didático sobre a regra de L’Hôpital (versão usada):
Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty) e f,g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então, se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), temos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=\sin x\cos 3x e g(x)=\cos x\sin 3x satisfazem f(a)=g(a)=0 com a=\dfrac{\pi}{2}, e são diferenciáveis perto de a. Logo podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicar L’Hôpital diferenciando numerador e denominador. Vou usar regra do produto e regra da cadeia:
  • Para f(x)=\sin x\cos 3x: f'(x)=\underbrace{\cos x}_{(\sin x)'}\cdot\cos 3x+\sin x\cdot\underbrace{(-\sin 3x)\cdot 3}_{(\cos 3x)'}=\cos x\cos 3x-3\sin x\sin 3x.Expliquei: derivada de \sin x é \cos x; derivada de \cos 3x é -\sin 3x vezes a derivada de 3x, que é 3.
  • Para g(x)=\cos x\sin 3x: g'(x)=\underbrace{(-\sin x)}_{(\cos x)'}\cdot\sin 3x+\cos x\cdot\underbrace{\cos 3x\cdot 3}_{(\sin 3x)'}=-\sin x\sin 3x+3\cos x\cos 3x.

Passo 5

Agora uso L’Hôpital: o limite original é igual a
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x\cos 3x-3\sin x\sin 3x}{-\sin x\sin 3x+3\cos x\cos 3x}.
Avalio as funções trigonométricas no ponto x=\dfrac{\pi}{2}:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,
\sin\!\left(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1,\qquad \cos\!\left(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0.
Substituindo em f'(x) e g'(x):
f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0\cdot 0-3\cdot 1\cdot(-1)=3,
g'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-1\cdot(-1)+3\cdot 0\cdot 0=1.
Portanto o limite vale
\frac{f'(\pi/2)}{g'(\pi/2)}=\frac{3}{1}=3.

Passo 6

Breve verificação alternativa (intuição): perto de x=\dfrac{\pi}{2} pode-se escrever x=\dfrac{\pi}{2}+t com t\to0. Usando \tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}+t\big)=-\cot t\approx -\dfrac{1}{t} e \tan\!\big(\tfrac{3\pi}{2}+3t\big)=-\cot(3t)\approx -\dfrac{1}{3t}, a razão dá \dfrac{-1/t}{-1/(3t)}=3, que confirma o resultado obtido por L’Hôpital. (Isso é só um check rápido, a solução principal foi com L’Hôpital.)

Resposta

3

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