Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível: \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{tg}(x)}{\operatorname{tg}(3 x)}
ou seja, escrever a mesma expressão com notação usual e listar as informações relevantes:
A função a avaliar é \dfrac{\tan(x)}{\tan(3x)}.
O ponto de interesse é x=\dfrac{\pi}{2}.
Preciso verificar se a regra de L’Hôpital pode ser aplicada e, se puder, usá-la para obter o limite.
Passo 2
Verificar o tipo de indeterminação substituindo cada parte:
\tan(x) quando x\to\dfrac{\pi}{2} tende a infinito (já que \cos x\to0).
\tan(3x) quando x\to\dfrac{\pi}{2} tem 3x\to\dfrac{3\pi}{2} e também tende a infinito.
Portanto a forma é \dfrac{\infty}{\infty}, uma indeterminação onde L’Hôpital pode ser aplicável. Para manipular de forma mais direta, reescrevo a razão em termos de seno e cosseno:
Agora avalio numerador e denominador separadamente no ponto:
\sin x\cos 3x \to 1\cdot 0 =0,
\cos x\sin 3x \to 0\cdot(-1)=0.
Assim, nesta forma obtemos a indeterminação 0/0, que é adequada para aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Lembrete didático sobre a regra de L’Hôpital (versão usada):
Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty) e f,g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então, se o limite
Aqui f(x)=\sin x\cos 3x e g(x)=\cos x\sin 3x satisfazem f(a)=g(a)=0 com a=\dfrac{\pi}{2}, e são diferenciáveis perto de a. Logo podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Aplicar L’Hôpital diferenciando numerador e denominador. Vou usar regra do produto e regra da cadeia:
Para f(x)=\sin x\cos 3x:f'(x)=\underbrace{\cos x}_{(\sin x)'}\cdot\cos 3x+\sin x\cdot\underbrace{(-\sin 3x)\cdot 3}_{(\cos 3x)'}=\cos x\cos 3x-3\sin x\sin 3x.Expliquei: derivada de \sin x é \cos x; derivada de \cos 3x é -\sin 3x vezes a derivada de 3x, que é 3.
Breve verificação alternativa (intuição): perto de x=\dfrac{\pi}{2} pode-se escrever x=\dfrac{\pi}{2}+t com t\to0. Usando \tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}+t\big)=-\cot t\approx -\dfrac{1}{t} e \tan\!\big(\tfrac{3\pi}{2}+3t\big)=-\cot(3t)\approx -\dfrac{1}{3t}, a razão dá \dfrac{-1/t}{-1/(3t)}=3, que confirma o resultado obtido por L’Hôpital. (Isso é só um check rápido, a solução principal foi com L’Hôpital.)