Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{cotg}(x)}{\operatorname{cotg}(2 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x \to 0 de
\frac{\operatorname{cotg}(x)}{\operatorname{cotg}(2x)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve as funções cotangente de x e de 2x.
  • Precisamos avaliar o comportamento quando x tende a 0.

Passo 2

Vamos verificar a forma indeterminada na qual a expressão se encontra ao aproximar x de 0. Para isso, lembro que quando x\to 0 tem-se \sin x\to 0 e \cos x\to 1, portanto \operatorname{cotg}(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}\to \infty. Analogamente \operatorname{cotg}(2x)\to \infty. Logo o quociente é do tipo \infty/\infty, que é uma forma indeterminada onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis numa vizinhança de 0, exceto possivelmente em 0).

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x. Primeiro, a derivada de \operatorname{cotg}(u) em relação a u é -\csc^2(u), onde \csc u=\dfrac{1}{\sin u}. Usando cadeia para o caso u=2x:
  • \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{cotg}(x)\big) = -\csc^2(x).
  • \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{cotg}(2x)\big) = -2\csc^2(2x).

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital o limite vale o limite do quociente das derivadas (se existir):
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{cotg}(x)}{\operatorname{cotg}(2x)} = \lim_{x\to 0}\frac{-\csc^2(x)}{-2\csc^2(2x)} = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\csc^2(x)}{\csc^2(2x)}.
Agora uso \csc^2 t = \dfrac{1}{\sin^2 t} para escrever
\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{1/\sin^2 x}{1/\sin^2(2x)} = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(2x)}{\sin^2 x}.

Passo 5

Uso a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x. Assim
\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(2x)}{\sin^2 x} = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{(2\sin x\cos x)^2}{\sin^2 x} = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}(2\cos x)^2.
Simplificando,
\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}4\cos^2 x = 2\lim_{x\to 0}\cos^2 x.
Como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, segue que \lim_{x\to 0}\cos^2 x = 1 e, portanto, o limite buscado é 2.

Resposta

2

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