Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
de
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão envolve as funções cotangente de
e de . - Precisamos avaliar o comportamento quando
tende a .
Passo 2
Vamos verificar a forma indeterminada na qual a expressão se encontra ao aproximar
de
. Para isso, lembro que quando
tem-se
e
, portanto
. Analogamente
. Logo o quociente é do tipo
, que é uma forma indeterminada onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis numa vizinhança de
, exceto possivelmente em
).
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a
. Primeiro, a derivada de
em relação a
é
, onde
. Usando cadeia para o caso
:
-
. -
.
Passo 4
Pela regra de L’Hôpital o limite vale o limite do quociente das derivadas (se existir):
Agora uso
para escrever
Passo 5
Uso a identidade
. Assim
Simplificando,
Como
, segue que
e, portanto, o limite buscado é
.