Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{e^{2 x}}\, para \(n \in \mathbb{N}\)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{2x}}
para \,n\in\mathbb{N}.\n
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável que tende a infinito é x.
  • O numerador é x^{n}, que tende a \infty quando x\to\infty (para qualquer n\in\mathbb{N}).
  • O denominador é e^{2x}, que também tende a \infty quando x\to\infty.
  • Portanto a forma indeterminada é \infty/\infty.

Passo 2

Vamos lembrar a regra de L’Hôpital (forma que usaremos): se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de +\infty (exceto possivelmente num ponto) e
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty
e existir o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L,
então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L.
Além disso, quando a forma continua indeterminada após uma aplicação, pode-se aplicar L’Hôpital repetidas vezes (isto é, tomar derivadas sucessivas) desde que as hipóteses se mantenham.
Agora explico as derivadas que iremos usar:
  • Derivada de x^{n} em relação a x é n x^{n-1}.
  • Mais geralmente, a k-ésima derivada de x^{n} (para 0\le k\le n) é
\frac{d^{k}}{dx^{k}}x^{n}=\frac{n!}{(n-k)!}\,x^{\,n-k}.
Isso vem aplicando a regra do poder sucessivas vezes: cada diferenciação multiplica pelo expoente atual e diminui o expoente em 1.
  • Derivada de e^{2x} é 2e^{2x}.
  • Mais geralmente, a k-ésima derivada de e^{2x} é
\frac{d^{k}}{dx^{k}}e^{2x}=2^{k}e^{2x},
pois cada diferenciação traz um fator 2.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital uma vez ao quociente inicial (pois temos \infty/\infty):
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{2x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{n x^{n-1}}{2 e^{2x}}.
Ainda é da forma \infty/\infty (o numerador cresce como potência, o denominador como exponencial), então podemos aplicar L’Hôpital de novo.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital repetidamente k vezes (com 1\le k\le n), usando as fórmulas das derivadas dadas, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{2x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{d^{k}}{dx^{k}}x^{n}}{\dfrac{d^{k}}{dx^{k}}e^{2x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{n!}{(n-k)!}\,x^{\,n-k}}{2^{k}e^{2x}}.
Escolhendo k=n (ou seja, aplicando L’Hôpital n vezes), o numerador deixa de depender de x e vira constante:
\frac{d^{n}}{dx^{n}}x^{n}=n!.
A derivada n-ésima do denominador é 2^{n}e^{2x}. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{2x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{n!}{2^{n}e^{2x}}.

Passo 5

Agora observe que n! e 2^{n} são constantes (não dependem de x) e e^{2x}\to\infty quando x\to\infty. Assim a fração constante sobre e^{2x} tende a zero:
\lim_{x\to\infty}\frac{n!}{2^{n}e^{2x}}=0.
Portanto o limite buscado vale 0 para qualquer n\in\mathbb{N}.
Para ficar mais concreto, um exemplo rápido com n=3:
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{e^{2x}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to\infty}\frac{6x}{4e^{2x}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to\infty}\frac{6}{8e^{2x}}=0.
Vê-se que após 3 aplicações obtemos uma constante sobre e^{2x}, que vai a zero.

Passo 6

Interpretação intuitiva rápida (sem usar L’Hôpital): a função exponencial e^{2x} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio x^{n}, então conforme x\to\infty a razão polinômio/exponencial tende a zero. A aplicação formal via L’Hôpital, feita acima, confirma isso rigorosamente.

Resposta

0

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