Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
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Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
para
.\n
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável que tende a infinito é
. - O numerador é
, que tende a quando (para qualquer ). - O denominador é
, que também tende a quando . - Portanto a forma indeterminada é
.
Passo 2
Vamos lembrar a regra de L’Hôpital (forma que usaremos): se
e
são funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente num ponto) e
e existir o limite
então
Além disso, quando a forma continua indeterminada após uma aplicação, pode-se aplicar L’Hôpital repetidas vezes (isto é, tomar derivadas sucessivas) desde que as hipóteses se mantenham.
Agora explico as derivadas que iremos usar:
- Derivada de
em relação a é . - Mais geralmente, a
-ésima derivada de (para ) é
Isso vem aplicando a regra do poder sucessivas vezes: cada diferenciação multiplica pelo expoente atual e diminui o expoente em
.
- Derivada de
é . - Mais geralmente, a
-ésima derivada de é
pois cada diferenciação traz um fator
.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital uma vez ao quociente inicial (pois temos
):
Ainda é da forma
(o numerador cresce como potência, o denominador como exponencial), então podemos aplicar L’Hôpital de novo.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital repetidamente
vezes (com
), usando as fórmulas das derivadas dadas, obtemos
Escolhendo
(ou seja, aplicando L’Hôpital
vezes), o numerador deixa de depender de
e vira constante:
A derivada
-ésima do denominador é
. Portanto
Passo 5
Agora observe que
e
são constantes (não dependem de
) e
quando
. Assim a fração constante sobre
tende a zero:
Portanto o limite buscado vale
para qualquer
.
Para ficar mais concreto, um exemplo rápido com
:
Vê-se que após
aplicações obtemos uma constante sobre
, que vai a zero.
Passo 6
Interpretação intuitiva rápida (sem usar L’Hôpital): a função exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio
, então conforme
a razão polinômio/exponencial tende a zero. A aplicação formal via L’Hôpital, feita acima, confirma isso rigorosamente.
Resposta
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