Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\frac{1}{\ln \left(e^{x}-1\right)}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{\frac{1}{\ln\!\left(e^{x}-1\right)}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável x aproxima-se de 0 pela direita ( x\to 0^{+}).
  • A expressão é uma potência com base x e expoente \dfrac{1}{\ln\!\left(e^{x}-1\right)}.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico desse limite, justificando os passos (usar regra de L’Hôpital quando adequada).

Passo 2

Estratégia útil: transformar a expressão exponencial em uma exponencial de uma razão, tomando logaritmo natural. Isso facilita aplicar L’Hôpital porque aparecerá uma razão de funções. Seja
L=\lim_{x\to 0^{+}} x^{\frac{1}{\ln\!\left(e^{x}-1\right)}}.
Tome logaritmo natural (função contínua, podemos trocar ordem do limite com \ln se o limite existir ou for \infty/ -\infty):
\ln L = \lim_{x\to 0^{+}} \ln\!\left(x^{\frac{1}{\ln\!\left(e^{x}-1\right)}}\right) = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{\ln\!\left(e^{x}-1\right)}.
Agora precisamos calcular
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{\ln\!\left(e^{x}-1\right)}.

Passo 3

Analisando o comportamento das partes quando x\to 0^{+}:
  • \ln x \to -\infty.
  • e^{x}-1 \to 0^{+}, logo \ln\!\left(e^{x}-1\right)\to -\infty.
    Portanto temos forma indeterminada \dfrac{-\infty}{-\infty}, onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (as funções são diferenciáveis para x>0 pequeno). Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
  • \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\ln\!\left(e^{x}-1\right)\right)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}-1} (regra da cadeia: derivada de \ln u é u'/u, com u=e^{x}-1 e u'=e^{x}).
    Pelo teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{\ln\!\left(e^{x}-1\right)} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\tfrac{1}{x}}{\tfrac{e^{x}}{e^{x}-1}} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{x}-1}{x e^{x}}.

Passo 4

Agora calculamos
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{x}-1}{x e^{x}}.
Uma simplificação conveniente é dividir numerador e denominador por e^{x}:
\frac{e^{x}-1}{x e^{x}} = \frac{1-e^{-x}}{x}.
Quando x\to 0^{+} temos forma 0/0. Podemos aplicar L’Hôpital novamente ou usar expansão em série. Usando L’Hôpital outra vez:
  • derivada do numerador 1-e^{-x} é e^{-x},
  • derivada do denominador x é 1.
    Assim
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1-e^{-x}}{x} = \lim_{x\to 0^{+}} e^{-x} = 1.
(Alternativamente, pela série e^{-x}=1 - x + O(x^{2}), \dfrac{1-e^{-x}}{x}=1 + O(x)\to1.)

Passo 5

Concluímos que
\ln L = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{\ln\!\left(e^{x}-1\right)} = 1.
Logo
L = e^{\ln L} = e^{1} = e.
Você chegou ao resultado: a expressão inteira tende a e. Bom trabalho — essa técnica (tomar logaritmo e usar L’Hôpital) é super útil para limites do tipo f(x)^{g(x)}, especialmente quando ambos vão para extremos.

Resposta

e

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