Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável
aproxima-se de pela direita ( ). - A expressão é uma potência com base
e expoente . - Objetivo: encontrar o valor numérico desse limite, justificando os passos (usar regra de L’Hôpital quando adequada).
Passo 2
Estratégia útil: transformar a expressão exponencial em uma exponencial de uma razão, tomando logaritmo natural. Isso facilita aplicar L’Hôpital porque aparecerá uma razão de funções. Seja
Tome logaritmo natural (função contínua, podemos trocar ordem do limite com
se o limite existir ou for
/
):
Agora precisamos calcular
Passo 3
Analisando o comportamento das partes quando
:
-
. -
, logo .
Portanto temos forma indeterminada, onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (as funções são diferenciáveis para pequeno). Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador: -
-
(regra da cadeia: derivada de é , com e ).
Pelo teorema de L’Hôpital,
Passo 4
Agora calculamos
Uma simplificação conveniente é dividir numerador e denominador por
:
Quando
temos forma
. Podemos aplicar L’Hôpital novamente ou usar expansão em série. Usando L’Hôpital outra vez:
- derivada do numerador
é , - derivada do denominador
é .
Assim
(Alternativamente, pela série
,
.)
Passo 5
Concluímos que
Logo
Você chegou ao resultado: a expressão inteira tende a
. Bom trabalho — essa técnica (tomar logaritmo e usar L’Hôpital) é super útil para limites do tipo
, especialmente quando ambos vão para extremos.