Calcule os limites, caso exista:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(4 x^{2}-7 x+5\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to1}\left(4x^{2}-7x+5\right).
Informações dadas:
  • A expressão cuja limite precisamos é \;4x^{2}-7x+5\;.
  • O ponto de aproximação é x\to1.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite (se existir)?

Passo 2

Ideia e propriedades que vou usar (explicadas de forma simples).
  • Regra básica de limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M então \lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=L+M, \qquad \lim_{x\to a}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=L\cdot M,e para constante c, \lim_{x\to a} c\cdot f(x) = c\cdot \lim_{x\to a} f(x).Essas regras permitem decompor limites de somas, produtos e constantes.
  • Especialmente, \lim_{x\to a} x = a e, portanto, para potências inteiras positivas, \lim_{x\to a} x^{n} = a^{n}.
  • Consequência prática: polinômios são combinações de somas e produtos de x e constantes, logo são contínuos em todo ponto. Para função polinomial p(x), \lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Isso significa que podemos calcular o limite substituindo x=a quando a função é polinomial.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo:
\lim_{x\to1}\left(4x^{2}-7x+5\right) = \lim_{x\to1}4x^{2}-\lim_{x\to1}7x+\lim_{x\to1}5.
Calculo de cada limite:
\lim_{x\to1}4x^{2}=4\cdot\lim_{x\to1}x^{2}=4\cdot\big(\lim_{x\to1}x\big)^{2}=4\cdot 1^{2}=4,
\lim_{x\to1}7x=7\cdot\lim_{x\to1}x=7\cdot 1=7,
\lim_{x\to1}5=5\quad(\text{constante}).
Agora somo/ subtraio os resultados:
4-7+5= (4+5)-7=9-7=2.

Passo 4

Interpretação curta e motivadora: como é um polinômio, a maneira mais rápida na prova é lembrar que dá para substituir x=1 direto. Fizemos passo a passo para ver por quê pelas regras de limite. Bom trabalho — o raciocínio é exatamente o que o examinador espera aqui.

Resposta

2

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