envolvem equações da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
.
12.
12.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial autônoma
e pede, para esta equação:
- esboçar o gráfico de
em função de ; - determinar os pontos críticos (equilíbrios), isto é, valores de
onde ; - classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável;
- desenhar a reta de fase (setas indicando sentido do fluxo em cada intervalo de
); - esboçar soluções diversas no plano
- (comportamento qualitativo das curvas para várias condições iniciais).
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é autônoma (o lado direito depende só de
, não de ). - A função de taxa é
, definida para todo . - Estamos interessados no comportamento global para qualquer
.
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo
.
Escrevendo e fatorando:
As soluções de
são as raízes dos fatores:
Logo os pontos de equilíbrio são
Passo 3
Explicar o método de classificação de estabilidade (aulas rápidas, sem jargão complicado).
- Para um equilíbrio
de uma equação autônoma , uma maneira comum é linearizar: calcular . - Se
, o equilíbrio é localmente assintoticamente estável (um “sumidouro”): pequenas perturbações voltam para quando . - Se
, o equilíbrio é instável (uma “fonte”): pequenas perturbações se afastam. - Se
, a linearização é inconclusiva e precisamos analisar termos de ordem superior ou o sinal de à esquerda e à direita de .
- Se
- Outra forma intuitiva e prática (especialmente útil em 1D) é testar o sinal de
nos intervalos entre equilibria: se em um intervalo então cresce (setas para a direita na reta de fase); se então decresce (setas para a esquerda). Observando setas em ambos os lados de um equilíbrio dá-se a sua natureza.
Passo 4
Calcular a derivada
e avaliar nos equilíbrios.
Derivando
(forma expandida) ou usando produto:
Avaliar em cada equilíbrio:
- Em
: Portanto é assintoticamente estável. - Em
: Portanto é instável. - Em
: Aqui a linearização falha (derivada nula). Precisamos analisar termos de ordem superior / sinal de perto de .
Passo 5
Análise detalhada do equilíbrio
(caso com multiplicidade e
).
Escrevendo
em desenvolvimento:
Para
pequeno (módulo pequeno), o termo dominante é
porque
é muito menor que
. Assim, para
suficientemente próximo de
(mas não nulo),
Isto mostra:
- Se
e pequeno, então : aumenta (afasta-se de ). - Se
e pequeno, então : aumenta (ou seja, move-se em direção a , porque aumentar um número negativo aproxima de zero).
Portanto
atrai soluções vindas da esquerda (valores negativos pequenos tendem para
quando
), mas repele soluções vindas da direita (valores positivos pequenos se afastam de
). Esse comportamento é o que chamamos de semiestável: estável de um lado (pela esquerda) e instável do outro (pela direita). Podemos dizer mais brevemente:
é semiestável (estável pela esquerda, instável pela direita).
Passo 6
Determinar o sinal de
nos intervalos entre equilíbrios e desenhar mentalmente a reta de fase.
Separar os intervalos com os pontos
. Testar o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: . Como , tem-se . Logo → setas para a esquerda nesta região. - Para
: . Assim → → setas para a direita. - Para
: e , então → → setas para a direita. - Para
: , então → → setas para a esquerda.
Reta de fase (em linha, do menor para o maior
):
Interpretação das setas:
- Em
as setas apontam para a esquerda (decresce). - Em
apontam para a direita (cresce). - Em
apontam para a direita (cresce). - Em
apontam para a esquerda (decresce).
Da reta de fase já se vê:
-
: setas saindo para os dois lados → instável. -
: setas entrando por ambos os lados → assintoticamente estável. -
: setas à esquerda apontam para e à direita apontam para longe → semiestável (estável pela esquerda, instável pela direita).
Passo 7
Descrição qualitativa das soluções no plano
-
para várias condições iniciais (esboços mentais):
Considere
no eixo horizontal e
no eixo vertical.
- Caso
: , então decresce monotonamente e tende para quando . No gráfico - a curva vem de um valor maior que e se aproxima horizontalmente de . - Caso
: , então cresce monotonamente e tende para quando . A curva sobe e se aproxima assintoticamente de . - Caso
: solução constante . - Caso
: , então aumenta (fica menos negativo) e tende para quando . No gráfico, curvas partem de um valor negativo entre e e sobem assintoticamente até . - Caso
: solução constante . - Caso
: solução constante , mas qualquer pequena perturbação para leva a decrescer (ir para mais negativo) e para leva a aumentar (ir em direção a ). Logo é instável. - Caso
: , então decresce (torna-se cada vez mais negativo) à medida que cresce. Assim a solução escapa para valores negativos grandes (tende a ); qualitativamente, a curva desce sem se estabilizar em um valor finito. (Observação: a velocidade de decaimento cresce com porque o termo dominante é para grandes .)
Esses comportamentos permitem esboçar várias curvas: as que começam entre
e
sobem e aterrissam em
; as que começam acima de
descem e se aproximam de
; as que começam em
sobem para
; as que começam abaixo de
descem para
.
Passo 8
Resumo intuitivo (ajuda para decorar na prova):
- Raiz dupla em
gera comportamento assimétrico: atrai pela esquerda e repele pela direita → semiestável. - Raízes simples em
classificam-se pelo sinal de : estável; instável. - Reta de fase mostra setas: para
setas para a esquerda; entre e setas para a direita; entre e setas para a direita; para setas para a esquerda. Assim dá para desenhar todas as soluções qualitativamente.