envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
12. d y / d t=y^{2}\left(4-y^{2}\right), \quad -\infty<y_{0}<\infty

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dt}=y^{2}\!\left(4-y^{2}\right), \qquad -\infty<y_{0}<\infty,
e pede, para esta equação:
  • esboçar o gráfico de f(y)=y^{2}(4-y^{2}) em função de y;
  • determinar os pontos críticos (equilíbrios), isto é, valores de y onde f(y)=0;
  • classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável;
  • desenhar a reta de fase (setas indicando sentido do fluxo em cada intervalo de y);
  • esboçar soluções diversas no plano t- y (comportamento qualitativo das curvas para várias condições iniciais).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é autônoma (o lado direito depende só de y, não de t).
  • A função de taxa é f(y)=y^{2}(4-y^{2}), definida para todo y\in\mathbb{R}.
  • Estamos interessados no comportamento global para qualquer y_0\in\mathbb{R}.

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo f(y)=0.
Escrevendo e fatorando:
f(y)=y^{2}(4-y^{2})=y^{2}(2-y)(2+y).
As soluções de f(y)=0 são as raízes dos fatores:
y^{2}=0\Rightarrow y=0\quad(\text{multiplicidade }2),
2-y=0\Rightarrow y=2,
2+y=0\Rightarrow y=-2.
Logo os pontos de equilíbrio são \;y=-2,\;y=0,\;y=2.

Passo 3

Explicar o método de classificação de estabilidade (aulas rápidas, sem jargão complicado).
  • Para um equilíbrio y^* de uma equação autônoma \dfrac{dy}{dt}=f(y), uma maneira comum é linearizar: calcular f'(y^*).
    • Se f'(y^*)<0, o equilíbrio é localmente assintoticamente estável (um “sumidouro”): pequenas perturbações voltam para y^* quando t\to+\infty.
    • Se f'(y^*)>0, o equilíbrio é instável (uma “fonte”): pequenas perturbações se afastam.
    • Se f'(y^*)=0, a linearização é inconclusiva e precisamos analisar termos de ordem superior ou o sinal de f(y) à esquerda e à direita de y^*.
  • Outra forma intuitiva e prática (especialmente útil em 1D) é testar o sinal de f(y) nos intervalos entre equilibria: se em um intervalo f>0 então y cresce (setas para a direita na reta de fase); se f<0 então y decresce (setas para a esquerda). Observando setas em ambos os lados de um equilíbrio dá-se a sua natureza.

Passo 4

Calcular a derivada f'(y) e avaliar nos equilíbrios.
Derivando f(y)=4y^{2}-y^{4} (forma expandida) ou usando produto:
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}(4-y^{2})\bigr)=8y-4y^{3}=4y(2-y^{2}).
Avaliar em cada equilíbrio:
  • Em y=2: f'(2)=4\cdot 2\,(2-2^{2})=8\,(2-4)=8\cdot(-2)=-16<0.Portanto y=2 é assintoticamente estável.
  • Em y=-2: f'(-2)=4\cdot(-2)\,(2-(-2)^{2})=-8\,(2-4)=-8\cdot(-2)=16>0.Portanto y=-2 é instável.
  • Em y=0: f'(0)=4\cdot 0\,(2-0)=0.Aqui a linearização falha (derivada nula). Precisamos analisar termos de ordem superior / sinal de f(y) perto de 0.

Passo 5

Análise detalhada do equilíbrio y=0 (caso com multiplicidade e f'(0)=0).
Escrevendo f(y) em desenvolvimento:
f(y)=4y^{2}-y^{4}=y^{2}\bigl(4-y^{2}\bigr).
Para y pequeno (módulo pequeno), o termo dominante é 4y^{2} porque y^{4} é muito menor que y^{2}. Assim, para y suficientemente próximo de 0 (mas não nulo),
f(y)\approx 4y^{2}>0.
Isto mostra:
  • Se y>0 e pequeno, então f(y)>0\Rightarrow dy/dt>0: y aumenta (afasta-se de 0).
  • Se y<0 e pequeno, então f(y)>0\Rightarrow dy/dt>0: y aumenta (ou seja, move-se em direção a 0, porque aumentar um número negativo aproxima de zero).
Portanto y=0 atrai soluções vindas da esquerda (valores negativos pequenos tendem para 0 quando t\to+\infty), mas repele soluções vindas da direita (valores positivos pequenos se afastam de 0). Esse comportamento é o que chamamos de semiestável: estável de um lado (pela esquerda) e instável do outro (pela direita). Podemos dizer mais brevemente: y=0 é semiestável (estável pela esquerda, instável pela direita).

Passo 6

Determinar o sinal de f(y) nos intervalos entre equilíbrios e desenhar mentalmente a reta de fase.
Separar os intervalos com os pontos -2,0,2. Testar o sinal de f em cada intervalo:
  • Para y>2: y^{2}>4\Rightarrow 4-y^{2}<0. Como y^{2}>0, tem-se f(y)<0. Logo \dfrac{dy}{dt}<0 → setas para a esquerda nesta região.
  • Para 0<y<2: y^{2}\in(0,4)\Rightarrow 4-y^{2}>0. Assim f(y)>0 \dfrac{dy}{dt}>0 → setas para a direita.
  • Para -2<y<0: y^{2}\in(0,4)\Rightarrow 4-y^{2}>0 e y^{2}>0, então f(y)>0 \dfrac{dy}{dt}>0 → setas para a direita.
  • Para y<-2: y^{2}>4\Rightarrow 4-y^{2}<0, então f(y)<0 \dfrac{dy}{dt}<0 → setas para a esquerda.
Reta de fase (em linha, do menor para o maior y):
\cdots \longleftarrow \; y<-2 \; \raisebox{0.5ex}{\(\bullet\)}\!(-2)\ \longrightarrow \; (-2,0)\ \longrightarrow \!\!\raisebox{0.5ex}{\(\bullet\)}\!(0)\ \longrightarrow \;(0,2)\ \longleftarrow\!\!\raisebox{0.5ex}{\(\bullet\)}\!(2)\ \longleftarrow \cdots
Interpretação das setas:
  • Em (-\infty,-2) as setas apontam para a esquerda (decresce).
  • Em (-2,0) apontam para a direita (cresce).
  • Em (0,2) apontam para a direita (cresce).
  • Em (2,\infty) apontam para a esquerda (decresce).
Da reta de fase já se vê:
  • y=-2: setas saindo para os dois lados → instável.
  • y=2: setas entrando por ambos os lados → assintoticamente estável.
  • y=0: setas à esquerda apontam para 0 e à direita apontam para longe → semiestável (estável pela esquerda, instável pela direita).

Passo 7

Descrição qualitativa das soluções no plano t- y para várias condições iniciais (esboços mentais):
Considere t no eixo horizontal e y(t) no eixo vertical.
  • Caso y_{0}>2: dy/dt<0, então y(t) decresce monotonamente e tende para 2 quando t\to+\infty. No gráfico t- y a curva vem de um valor maior que 2 e se aproxima horizontalmente de y=2.
  • Caso 0<y_{0}<2: dy/dt>0, então y(t) cresce monotonamente e tende para 2 quando t\to+\infty. A curva sobe e se aproxima assintoticamente de y=2.
  • Caso y_{0}=2: solução constante y(t)\equiv 2.
  • Caso -2<y_{0}<0: dy/dt>0, então y(t) aumenta (fica menos negativo) e tende para 0 quando t\to+\infty. No gráfico, curvas partem de um valor negativo entre -2 e 0 e sobem assintoticamente até y=0.
  • Caso y_{0}=0: solução constante y(t)\equiv 0.
  • Caso y_{0}=-2: solução constante y(t)\equiv -2, mas qualquer pequena perturbação para y<-2 leva a decrescer (ir para mais negativo) e para y>-2 leva a aumentar (ir em direção a 0). Logo y=-2 é instável.
  • Caso y_{0}<-2: dy/dt<0, então y(t) decresce (torna-se cada vez mais negativo) à medida que t cresce. Assim a solução escapa para valores negativos grandes (tende a -\infty); qualitativamente, a curva desce sem se estabilizar em um valor finito. (Observação: a velocidade de decaimento cresce com |y| porque o termo dominante é -y^{4} para grandes |y|.)
Esses comportamentos permitem esboçar várias curvas: as que começam entre 0 e 2 sobem e aterrissam em 2; as que começam acima de 2 descem e se aproximam de 2; as que começam em (-2,0) sobem para 0; as que começam abaixo de -2 descem para -\infty.

Passo 8

Resumo intuitivo (ajuda para decorar na prova):
  • Raiz dupla em y=0 gera comportamento assimétrico: atrai pela esquerda e repele pela direita → semiestável.
  • Raízes simples em y=\pm 2 classificam-se pelo sinal de f'(y): f'(2)<0\Rightarrow estável; f'(-2)>0\Rightarrow instável.
  • Reta de fase mostra setas: para y<-2 setas para a esquerda; entre -2 e 0 setas para a direita; entre 0 e 2 setas para a direita; para y>2 setas para a esquerda. Assim dá para desenhar todas as soluções qualitativamente.

Resposta

y=-2: instável
y=0: semiestável (estável pela esquerda, instável pela direita)
y=2: assintoticamente estável

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