Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{7 x^{6}+5 x^{4}+7}}{x^{4}+2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7}}{x^{4}+2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão é uma razão entre uma raiz quadrada que contém potências de x e um polinômio em x.
  • A variável x tende para -\infty.
  • Deve-se determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, calcular seu valor.

Passo 2

Estratégia: para limites quando x\to\pm\infty é comum fatorar a maior potência de x que aparece nas expressões, para evidenciar os termos dominantes. Aqui a maior potência dentro da raiz é x^{6} e no denominador é x^{4}. Vou extrair x^{6} debaixo da raiz e dividir numerador e denominador por x^{4} para comparar ordens de grandeza.

Passo 3

Extração da maior potência debaixo da raiz. Usamos a propriedade \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b} quando a,b\ge 0. Note que para todo x real, x^{6}\ge0, então
\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7} = \sqrt{x^{6}}\;\sqrt{7+\frac{5x^{4}}{x^{6}}+\frac{7}{x^{6}}} = \sqrt{x^{6}}\;\sqrt{7+\frac{5}{x^{2}}+\frac{7}{x^{6}}}.
Importante: \sqrt{x^{6}}=|x^{3}|, porque a raiz quadrada devolve sempre um valor não negativo. Assim
\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7} = |x^{3}|\;\sqrt{7+\frac{5}{x^{2}}+\frac{7}{x^{6}}}.

Passo 4

Agora dividimos numerador e denominador por x^{4} (não por x^{6}, porque o denominador tem x^{4}) para deixar fatores que tendem a constantes:
\frac{\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7}}{x^{4}+2} = \frac{|x^{3}|\;\sqrt{7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}}}{x^{4}\left(1+\dfrac{2}{x^{4}}\right)}.
Reescrevendo o fator que envolve potências de x,
\frac{|x^{3}|}{x^{4}} = \frac{1}{|x|}.
Logo a expressão fica
\frac{\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7}}{x^{4}+2} = \frac{1}{|x|}\cdot\frac{\sqrt{7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}}}{1+\dfrac{2}{x^{4}}}.

Passo 5

Agora analisamos o comportamento dos fatores quando x\to -\infty.
  • \dfrac{1}{|x|}\to 0^{+} pois |x|\to+\infty.
  • \dfrac{5}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{7}{x^{6}}\to 0, então \sqrt{7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}}\to \sqrt{7}.
  • \dfrac{2}{x^{4}}\to 0, então 1+\dfrac{2}{x^{4}}\to 1.
Portanto o fator que multiplica \dfrac{1}{|x|} tende a \dfrac{\sqrt{7}}{1}=\sqrt{7}, que é finito e diferente de zero.

Passo 6

Multiplicando os limites (produto de limites quando cada limite existe e é finito):
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7}}{x^{4}+2} = \left(\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{|x|}\right)\cdot\left(\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}}}{1+\dfrac{2}{x^{4}}}\right) = 0\cdot\sqrt{7}=0.
Como numerador e denominador são positivos para |x| grande, o limite é 0 pelo lado de x negativo sem problemas de sinal.

Resposta

0

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