Verfique se as funções dadas são contínuas no(s) ponto(s) x_{0} dado(s).
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-9}{x-3}, & \text { se } x<3 \\\ x^{2}-9, & \text { se } 3 \leq x<7 \\\ x+5, & \text { se } x \geq 7\end{array} \quad\right. em x_{0}=3 e x_{0}=7.

Passo 1

O enunciado pede verificar se a função dada é contínua nos pontos [,x_{0}=3) e \,x_{0}=7.
A função é
f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-9}{x-3}, & \text{se } x<3,\\[6pt] x^{2}-9, & \text{se } 3\leq x<7,\\[6pt] x+5, & \text{se } x\geq 7. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • As três fórmulas que definem f(x)\] em três intervalos diferentes. - Os pontos onde devemos checar continuidade são \(\,x_{0}=3 e \,x_{0}=7.]

Passo 2

Lembrete da definição de continuidade num ponto (a mini-aula básica e prática).
  • Dizemos que f é contínua em \,x=a se e somente se os três itens abaixo ocorrerem simultaneamente:
    1. \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x) existe (limite pela esquerda).
    2. \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) existe (limite pela direita).
    3. Esses limites são iguais e iguais ao valor da função: \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
  • Quando a função é dada por partes, as duas limites laterais são calculadas usando as fórmulas correspondentes aos lados (ou seja, a expressão válida para x<a para o limite pela esquerda, e a expressão válida para x>a para o limite pela direita).
  • Se as duas limites laterais existirem mas forem diferentes, o limite \lim_{x\to a} f(x) não existe e a função é descontínua (discontínua por salto se ambos forem finitos e diferentes).
Agora vamos aplicar isso em cada ponto.

Passo 3

Verificação em \,x_{0}=3.
  1. Calcular f(3). A definição da função indica que, no ponto x=3, usamos a segunda fórmula porque ela vale para 3\leq x<7. Logo
f(3)=3^{2}-9=9-9=0.
  1. Limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x). Para x<3 vale a expressão \dfrac{x^{2}-9}{x-3}. Vamos simplificar essa expressão para entender o comportamento quando x se aproxima de 3 (lembrando que para x\neq3 podemos fatorar):
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Portanto, para x\neq3
\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.
Assim, ao nos aproximarmos de 3 pela esquerda, a expressão vale efetivamente x+3, e
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^-} (x+3)=3+3=6.
(Comentário didático: esse cancelamento mostra que o ramo à esquerda tem comportamento contínuo igual a x+3 exceto no próprio x=3, onde a definição da peça não se aplica.)
  1. Limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x). Para x>3 até 7 usamos x^{2}-9. Então
\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^+} (x^{2}-9)=3^{2}-9=0.
  1. Comparando:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=6,\qquad \lim_{x\to 3^+} f(x)=0,\qquad f(3)=0.
As duas limites laterais são diferentes ( 6\neq0), portanto \lim_{x\to 3} f(x) não existe. Conclusão: f é descontínua em \,x_{0}=3. Tipo de descontinuidade: descontinuidade de primeira espécie (descontinuidade por salto), pois os limites laterais são finitos e distintos. Observação: o valor da função f(3)=0 coincide com o limite pela direita, mas não com o da esquerda, então não é simplesmente um “buraco” removível.

Passo 4

Verificação em \,x_{0}=7.
  1. Calcular f(7). A definição da função indica que, para x\geq7, usamos x+5. Então
f(7)=7+5=12.
  1. Limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 7^-} f(x). Para x<7 mas x\geq3 vale x^{2}-9. Logo
\lim_{x\to 7^-} f(x)=\lim_{x\to 7^-} (x^{2}-9)=7^{2}-9=49-9=40.
  1. Limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 7^+} f(x). Para x>7 (ou x\geq7) usamos x+5. Assim
\lim_{x\to 7^+} f(x)=\lim_{x\to 7^+} (x+5)=7+5=12.
  1. Comparando:
\lim_{x\to 7^-} f(x)=40,\qquad \lim_{x\to 7^+} f(x)=12,\qquad f(7)=12.
As duas limites laterais são diferentes ( 40\neq12), logo \lim_{x\to 7} f(x) não existe. Conclusão: f é descontínua em \,x_{0}=7. Tipo de descontinuidade: também descontinuidade de primeira espécie (salto). Observação: aqui o valor da função f(7)=12 coincide com o limite pela direita, mas não com o da esquerda.

Resposta

Em \,x_{0}=3: f não é contínua (limites laterais 6 e 0; descontinuidade por salto).
Em \,x_{0}=7: f não é contínua (limites laterais 40 e 12; descontinuidade por salto).

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