Calcule os limites, caso existam.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão
. Vamos usar conceitos de cálculo de limites, especificamente a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como
.
Passo 2
Vamos substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite assim:
Como obtemos
, que é uma forma indeterminada, não podemos calcular o limite diretamente dessa forma. Por isso, vamos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital nos diz que, se o limite
resulta em uma forma indeterminada
, podemos calcular o limite das derivadas de
e
.
Primeiro, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas na expressão do limite:
Substituindo
:
Sabemos que
, então
. Substituindo:
Resposta
O limite é igual a
.