Calcule os limites, caso existam. Use produto notáveis e racionalização
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}-1}{x+1}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -1} \frac{x^{3}-1}{x+1}.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função a ser avaliada é f(x)=\dfrac{x^{3}-1}{x+1}.
  • O ponto de interesse é x=-1.
  • Não há outras restrições dadas.

Passo 2

Vamos primeiro tentar a substituição direta para ver se o limite é um caso imediato. Calcular o numerador e denominador em x=-1:
\text{numerador: }(-1)^{3}-1=-1-1=-2, \qquad \text{denominador: }-1+1=0.
Logo, ao substituir obtemos \dfrac{-2}{0}. Isso não é uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0}; o numerador tende para um número finito diferente de zero e o denominador tende a zero. Esse tipo de situação costuma indicar que o limite tende para infinito (ou menos infinito) ou que não existe como limite finito. Para decidir precisamos analisar o sinal e comportamento ao nos aproximarmos de -1.

Passo 3

Como o enunciado pediu para usar produtos notáveis, recorde a fórmula da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=1 obtemos a fatoração do numerador:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Escrevendo a função com essa fatoração:
\frac{x^{3}-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x+1}.

Passo 4

Verificamos se há cancelamento com o denominador x+1. O fator obtido no numerador é x-1, que não é x+1; portanto não há cancelamento algebraico. Isso confirma a observação do Passo 2: o numerador tende para um número não nulo quando x\to-1. Podemos também calcular diretamente o valor do polinômio x^{2}+x+1 em x=-1:
(-1)^{2}+(-1)+1=1-1+1=1.
Assim, próximo de x=-1 o numerador (x-1)(x^{2}+x+1) tende para (-1-1)\cdot 1 = -2, consistente com o cálculo direto anterior.

Passo 5

Agora vamos analisar os limites laterais para concluir o comportamento da função perto de -1.
Quando x\to -1^{+} (chegando por valores maiores que -1), o denominador x+1 é um número positivo muito pequeno. O numerador tende para -2 (número negativo). Portanto o quociente tende para
\frac{\text{negativo}}{\text{positivo pequeno}} = -\infty.
Assim
\lim_{x\to -1^{+}}\frac{x^{3}-1}{x+1}=-\infty.
Quando x\to -1^{-} (chegando por valores menores que -1), o denominador x+1 é um número negativo muito pequeno. O numerador tende para -2 (negativo). Portanto o quociente tende para
\frac{\text{negativo}}{\text{negativo pequeno}} = +\infty.
Assim
\lim_{x\to -1^{-}}\frac{x^{3}-1}{x+1}=+\infty.

Passo 6

Como os limites laterais não coincidem ( +\infty à esquerda e -\infty à direita), o limite bilateral \lim_{x\to -1}\dfrac{x^{3}-1}{x+1} não existe como número finito. Pode-se dizer que o limite bilateral não existe e que há uma divergência infinita com sinais opostos nos lados.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -1^{-}}\frac{x^{3}-1}{x+1}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to -1^{+}}\frac{x^{3}-1}{x+1}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^{3}-1}{x+1} não existe.

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