Calcule os limites, caso existam. Use produto notáveis e racionalização
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas pelo enunciado:
- A função a ser avaliada é
. - O ponto de interesse é
. - Não há outras restrições dadas.
Passo 2
Vamos primeiro tentar a substituição direta para ver se o limite é um caso imediato. Calcular o numerador e denominador em
:
Logo, ao substituir obtemos
. Isso não é uma forma indeterminada do tipo
; o numerador tende para um número finito diferente de zero e o denominador tende a zero. Esse tipo de situação costuma indicar que o limite tende para infinito (ou menos infinito) ou que não existe como limite finito. Para decidir precisamos analisar o sinal e comportamento ao nos aproximarmos de
.
Passo 3
Como o enunciado pediu para usar produtos notáveis, recorde a fórmula da diferença de cubos:
Aplicando com
e
obtemos a fatoração do numerador:
Escrevendo a função com essa fatoração:
Passo 4
Verificamos se há cancelamento com o denominador
. O fator obtido no numerador é
, que não é
; portanto não há cancelamento algebraico. Isso confirma a observação do Passo 2: o numerador tende para um número não nulo quando
. Podemos também calcular diretamente o valor do polinômio
em
:
Assim, próximo de
o numerador
tende para
, consistente com o cálculo direto anterior.
Passo 5
Agora vamos analisar os limites laterais para concluir o comportamento da função perto de
.
Quando
(chegando por valores maiores que
), o denominador
é um número positivo muito pequeno. O numerador tende para
(número negativo). Portanto o quociente tende para
Assim
Quando
(chegando por valores menores que
), o denominador
é um número negativo muito pequeno. O numerador tende para
(negativo). Portanto o quociente tende para
Assim
Passo 6
Como os limites laterais não coincidem (
à esquerda e
à direita), o limite bilateral
não existe como número finito. Pode-se dizer que o limite bilateral não existe e que há uma divergência infinita com sinais opostos nos lados.