Calcule os limites, caso existam. Use produto notáveis e racionalização
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que devemos observar:
- A expressão é a razão entre
(numerador) e (denominador). - Queremos o comportamento da razão quando
se aproxima de (pela esquerda e pela direita). - Uma verificação básica é observar os valores dos termos quando
: o numerador tende a (que NÃO é zero) e o denominador tende a . A partir disso vamos decidir se o limite existe e, se não, se há limites laterais infinitos.
Passo 2
Tentativa de substituição direta para ver o que acontece:
- Substituindo
no numerador obtemos , que é um número negativo (aproximadamente ), ou seja, não é zero. - Substituindo
no denominador obtemos .
Portanto a forma é do tipo “constante diferente de zero dividido por zero”, o que sugere que a expressão tende a infinito (ou a limites laterais com sinais opostos). Vamos confirmar isso rigorosamente transformando a expressão usando fatorações/racionalização (como pedido).
Passo 3
Lembrete de um produto notável útil (diferença de cubos). Para quaisquer
e
vale
Dessa identidade segue a fórmula de racionalização inversa
que nos permite expressar
em termos de
. Iremos aplicar isso com
e
.
Passo 4
Aplicando a identidade com
e
:
Substituindo isso na fração original obtemos
Agora observe que podemos separar a parte que tende a zero:
Assim a expressão original pode ser reescrita como
Passo 5
Análise do comportamento quando
:
- O fator
é contínuo em e quando tende ao valor
que é um número positivo finito (aproximadamente
). Logo esse fator não anula nem diverge.
- O termo
é dominado por quando se aproxima de ; portanto ele diverge em módulo: - Se
então pequeno, , logo . - Se
então pequeno, , logo .
Multiplicando por, que tende a uma constante positiva, mantém-se o caráter infinito com os mesmos sinais:
- Se
Portanto a limite bilateral não existe (há limites laterais infinitos com sinais opostos).
Resposta
Não existe.\newline
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