Calcule os limites, caso existam. Use produto notáveis e racionalização
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-2}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-2}.
Informações dadas e o que devemos observar:
  • A expressão é a razão entre \sqrt[3]{x}-2 (numerador) e x-2 (denominador).
  • Queremos o comportamento da razão quando x se aproxima de 2 (pela esquerda e pela direita).
  • Uma verificação básica é observar os valores dos termos quando x\to 2: o numerador tende a \sqrt[3]{2}-2 (que NÃO é zero) e o denominador tende a 0. A partir disso vamos decidir se o limite existe e, se não, se há limites laterais infinitos.

Passo 2

Tentativa de substituição direta para ver o que acontece:
  • Substituindo x=2 no numerador obtemos \sqrt[3]{2}-2, que é um número negativo (aproximadamente -0,74), ou seja, não é zero.
  • Substituindo x=2 no denominador obtemos 0.
    Portanto a forma é do tipo “constante diferente de zero dividido por zero”, o que sugere que a expressão tende a infinito (ou a limites laterais com sinais opostos). Vamos confirmar isso rigorosamente transformando a expressão usando fatorações/racionalização (como pedido).

Passo 3

Lembrete de um produto notável útil (diferença de cubos). Para quaisquer a e b vale
a^3-b^3=(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr).
Dessa identidade segue a fórmula de racionalização inversa
a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2},
que nos permite expressar a-b em termos de a^3-b^3. Iremos aplicar isso com a=\sqrt[3]{x} e b=2.

Passo 4

Aplicando a identidade com a=\sqrt[3]{x} e b=2:
\sqrt[3]{x}-2=\frac{\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^3-2^3}{\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^2+2\sqrt[3]{x}+2^2} =\frac{x-8}{\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^2+2\sqrt[3]{x}+4}.
Substituindo isso na fração original obtemos
\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-2} = \frac{x-8}{(x-2)\,\bigl(\,(\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\,\bigr)}.
Agora observe que podemos separar a parte que tende a zero:
\frac{x-8}{x-2} = \frac{(x-2)-6}{x-2} = 1-\frac{6}{x-2}.
Assim a expressão original pode ser reescrita como
\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-2} = \frac{1}{\;(\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\;}\left(1-\frac{6}{x-2}\right).

Passo 5

Análise do comportamento quando x\to 2:
  • O fator (\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4 é contínuo em x e quando x\to 2 tende ao valor
\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)^2+2\sqrt[3]{2}+4,
que é um número positivo finito (aproximadamente 8{,}11). Logo esse fator não anula nem diverge.
  • O termo 1-\dfrac{6}{x-2} é dominado por -\dfrac{6}{x-2} quando x se aproxima de 2; portanto ele diverge em módulo:
    • Se x\to 2^+ então x-2>0 pequeno, -\dfrac{6}{x-2}\to -\infty, logo 1-\dfrac{6}{x-2}\to -\infty.
    • Se x\to 2^- então x-2<0 pequeno, -\dfrac{6}{x-2}\to +\infty, logo 1-\dfrac{6}{x-2}\to +\infty.
      Multiplicando por 1/((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4), que tende a uma constante positiva, mantém-se o caráter infinito com os mesmos sinais:
\lim_{x\to 2^-}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-2}=-\infty.
Portanto a limite bilateral não existe (há limites laterais infinitos com sinais opostos).

Resposta

Não existe.\newline
\displaystyle \lim_{x\to 2^-}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-2}=+\infty\newline
\displaystyle \lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-2}=-\infty

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