Calcule os limites (envolve infinito).
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{4+3 x^{2}}}{5 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite (abordagem pela direita):
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{4+3x^{2}}}{5x}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A função envolvida é \dfrac{\sqrt{4+3x^{2}}}{5x} definida para x\neq 0; o símbolo 0^{+} indica que nos aproximamos de 0 por valores positivos de x.
  • A raiz quadrada \sqrt{4+3x^{2}} é sempre não negativa para todo x.
  • O denominador 5x tende para 0 quando x\to 0, e pelo sinal (como x\to0^{+}) tende para 0^{+} (zero pelo lado positivo).
  • O enunciado envolve comportamento “com infinito” (possível divergência para \pm\infty).

Passo 2

Avaliar o comportamento do numerador quando x\to 0.
\lim_{x\to 0}\sqrt{4+3x^{2}}=\sqrt{\lim_{x\to 0}(4+3x^{2})}=\sqrt{4}=2.
Explicação: a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua para t\ge 0; como 3x^{2}\to 0, o interior da raiz tende a 4 e a raiz tende a \sqrt{4}=2.

Passo 3

Avaliar o comportamento do denominador quando x\to 0^{+}.
\lim_{x\to 0^{+}}5x=5\cdot\lim_{x\to 0^{+}}x=5\cdot 0=0.
Além disso, para x>0 pequeno temos 5x>0, ou seja, o denominador tende a 0 pelo lado positivo ( 0^{+}).

Passo 4

Raciocínio sobre divisão por algo que tende a zero: se o numerador tende a um número fixo positivo e o denominador tende a 0^{+}, a fração tende a +\infty. Para tornar isso rígido, use uma desigualdade simples válida para todo x:
\sqrt{4+3x^{2}}\ge \sqrt{4}=2.
Dividindo por 5x>0 (para x>0) obtemos
\frac{\sqrt{4+3x^{2}}}{5x}\ge \frac{2}{5x}.
Como \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{2}{5x}=+\infty, e a função de interesse é sempre maior ou igual a uma função que tende a +\infty, segue que
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{4+3x^{2}}}{5x}=+\infty.
(Justificativa lógica: se f(x)\ge g(x) para x próximos de 0^{+} e \lim g(x)=+\infty, então \lim f(x)=+\infty.)

Passo 5

(Suplemento didático) Outra visão: desenvolver a raiz para ver o termo dominante. Escrevendo \sqrt{4+3x^{2}}=2\sqrt{1+\tfrac{3}{4}x^{2}} e usando a expansão de primeira ordem \sqrt{1+u}=1+\tfrac{u}{2}+o(u) para u\to 0, com u=\tfrac{3}{4}x^{2}, obtemos
\sqrt{4+3x^{2}}=2\Big(1+\tfrac{1}{2}\tfrac{3}{4}x^{2}+o(x^{2})\Big)=2+\tfrac{3}{4}x^{2}+o(x^{2}).
Dividindo por 5x
\frac{\sqrt{4+3x^{2}}}{5x}=\frac{2}{5x}+\frac{3}{20}x+o(x),
onde o termo dominante \dfrac{2}{5x} tende a +\infty quando x\to 0^{+}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

+\infty

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