Calcule os limites (envolve infinito).
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite (abordagem pela direita):
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A função envolvida é
definida para ; o símbolo indica que nos aproximamos de por valores positivos de . - A raiz quadrada
é sempre não negativa para todo . - O denominador
tende para quando , e pelo sinal (como ) tende para (zero pelo lado positivo). - O enunciado envolve comportamento “com infinito” (possível divergência para
).
Passo 2
Avaliar o comportamento do numerador quando
.
Explicação: a função
é contínua para
; como
, o interior da raiz tende a
e a raiz tende a
.
Passo 3
Avaliar o comportamento do denominador quando
.
Além disso, para
pequeno temos
, ou seja, o denominador tende a
pelo lado positivo (
).
Passo 4
Raciocínio sobre divisão por algo que tende a zero: se o numerador tende a um número fixo positivo e o denominador tende a
, a fração tende a
. Para tornar isso rígido, use uma desigualdade simples válida para todo
:
Dividindo por
(para
) obtemos
Como
, e a função de interesse é sempre maior ou igual a uma função que tende a
, segue que
(Justificativa lógica: se
para
próximos de
e
, então
.)
Passo 5
(Suplemento didático) Outra visão: desenvolver a raiz para ver o termo dominante. Escrevendo
e usando a expansão de primeira ordem
para
, com
, obtemos
Dividindo por
dá
onde o termo dominante
tende a
quando
, confirmando o resultado anterior.