Determine cada limite indicando qual propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow-3}\left|\frac{x^{2}+4 x+3}{x+3}\right|

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -3}\left|\frac{x^{2}+4x+3}{x+3}\right|
e indicar qual propriedade foi utilizada. Informações relevantes dadas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é \dfrac{x^{2}+4x+3}{x+3}.
  • Em x=-3 o denominador x+3 é zero, então a função dada não está definida no ponto x=-3 (possível descontinuidade).
  • Queremos o limite quando x se aproxima de -3, isto é, o comportamento da função em valores próximos de -3, não necessariamente o valor no ponto.

Passo 2

Fatorar o polinômio do numerador para simplificar a expressão (álgebra básica).
x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3).
Substituindo no quociente obtemos, para x\neq -3,
\frac{x^{2}+4x+3}{x+3}=\frac{(x+1)(x+3)}{x+3}=x+1.
Propriedade usada: fatoração de polinômios e cancelamento de um fator comum quando o fator não é zero (não se cancela quando x=-3, por isso a igualdade vale apenas para x\neq-3).

Passo 3

Substituir a função original por uma função equivalente em um vizinho de -3 (exceto no próprio ponto). Definir
f(x)=\left|\frac{x^{2}+4x+3}{x+3}\right| \quad\text{e}\quad g(x)=|x+1|.
Observação: para todo x com x\neq -3 vale f(x)=g(x) (peguei isso da simplificação do passo anterior). Propriedade de limites utilizada aqui: se duas funções coincidem em todos os pontos de um vizinho de a exceto possivelmente em a, então têm o mesmo limite em a. Assim
\lim_{x\to -3} f(x)=\lim_{x\to -3} g(x),
desde que o limite do lado direito exista.

Passo 4

Usar continuidade do valor absoluto e da função polinomial. A função h(x)=x+1 é polinomial, logo contínua em todo lugar; a função x\mapsto |x| é contínua em todo lugar. Propriedade utilizada: a composição de funções contínuas é contínua, e portanto
\lim_{x\to -3}|x+1|=\left|\lim_{x\to -3}(x+1)\right|.
Calcular \lim_{x\to -3}(x+1) por substituição (continuidade do polinômio):
\lim_{x\to -3}(x+1)= -3+1 = -2.

Passo 5

Aplicar o valor absoluto ao resultado do passo anterior:
\lim_{x\to -3}|x+1| = |-2| = 2.
Conclusão: o limite existe e vale 2. Propriedades resumidas usadas: fatoração e cancelamento (álgebra), igualdade de funções em um vizinho implica igualdade de limites, e continuidade do valor absoluto/polinômio que permite substituir x por -3.

Resposta

2

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