Propriedade usada: fatoração de polinômios e cancelamento de um fator comum quando o fator não é zero (não se cancela quando x=-3, por isso a igualdade vale apenas para x\neq-3).
Passo 3
Substituir a função original por uma função equivalente em um vizinho de -3 (exceto no próprio ponto). Definir
Observação: para todo x com x\neq -3 vale f(x)=g(x) (peguei isso da simplificação do passo anterior). Propriedade de limites utilizada aqui: se duas funções coincidem em todos os pontos de um vizinho de a exceto possivelmente em a, então têm o mesmo limite em a. Assim
\lim_{x\to -3} f(x)=\lim_{x\to -3} g(x),
desde que o limite do lado direito exista.
Passo 4
Usar continuidade do valor absoluto e da função polinomial. A função h(x)=x+1 é polinomial, logo contínua em todo lugar; a função x\mapsto |x| é contínua em todo lugar. Propriedade utilizada: a composição de funções contínuas é contínua, e portanto
Calcular \lim_{x\to -3}(x+1) por substituição (continuidade do polinômio):
\lim_{x\to -3}(x+1)= -3+1 = -2.
Passo 5
Aplicar o valor absoluto ao resultado do passo anterior:
\lim_{x\to -3}|x+1| = |-2| = 2.
Conclusão: o limite existe e vale 2. Propriedades resumidas usadas: fatoração e cancelamento (álgebra), igualdade de funções em um vizinho implica igualdade de limites, e continuidade do valor absoluto/polinômio que permite substituir x por -3.