Calcule os limites se existem:
|lim z infty z^2-(2+3 i) z+1i z-3|

Passo 1

Vamos calcular o limite da expressão |lim z infty z^2-(2+3i) z+1i z-3|. Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais envolvendo números complexos. Para resolver isso, vamos focar nos termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, observe que no numerador temos z^2 - (2 + 3i)z + 1 e no denominador temos i z - 3. Quando z tende ao infinito, os termos com maior potência de z são os que mais influenciam o comportamento da função.

Passo 3

No numerador, o termo de maior grau é z^2, e no denominador é i z. Isso significa que, para valores muito grandes de z, os outros termos tornam-se insignificantes em comparação.

Passo 4

Podemos simplificar a expressão isolando os termos de maior grau:
z^2 - (2 + 3i) z + 1i z - 3 approx z^2i z

Passo 5

Simplificando a fração z^2i z, cancelamos um z no numerador e no denominador:
z^2i z = zi

Passo 6

Agora, analisamos o limite de zi quando z tende ao infinito. Como z está no numerador e o denominador é uma constante ( i), à medida que z cresce sem limite, a expressão também tende ao infinito.

Passo 7

Assim, o limite da função original é infinito. Como estamos interessados no valor absoluto desse limite, temos:
|lim z infty z^2-(2+3i) z+1i z-3| = infty

Resposta

O limite é infinito, ou seja, infty.

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