Vamos calcular o limite da expressão |lim z infty z^2-(2+3i) z+1i z-3|. Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais envolvendo números complexos. Para resolver isso, vamos focar nos termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, observe que no numerador temos z^2 - (2 + 3i)z + 1 e no denominador temos i z - 3. Quando z tende ao infinito, os termos com maior potência de z são os que mais influenciam o comportamento da função.
Passo 3
No numerador, o termo de maior grau é z^2, e no denominador é i z. Isso significa que, para valores muito grandes de z, os outros termos tornam-se insignificantes em comparação.
Passo 4
Podemos simplificar a expressão isolando os termos de maior grau:
z^2 - (2 + 3i) z + 1i z - 3 approx z^2i z
Passo 5
Simplificando a fração z^2i z, cancelamos um z no numerador e no denominador:
z^2i z = zi
Passo 6
Agora, analisamos o limite de zi quando z tende ao infinito. Como z está no numerador e o denominador é uma constante (i), à medida que z cresce sem limite, a expressão também tende ao infinito.
Passo 7
Assim, o limite da função original é infinito. Como estamos interessados no valor absoluto desse limite, temos: