Calcule os limites, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto onde a variável dupla se aproxima é
. - Não há divisão por zero no ponto nem em nenhuma vizinhança próxima, pois o denominador é
.
Passo 2
Primeiro, observo limites inferiores e superiores naturais para a função. Note que
e
para todo
. Assim o numerador
é não-negativo, e o denominador
é estritamente positivo. Portanto
Esta é a desigualdade inferior (a função nunca é negativa).
Passo 3
Agora uma desigualdade superior simples. Como
, dividir
por algo maior ou igual a
torna o quociente menor ou igual a
. Logo
Juntando com a desigualdade do passo anterior, obtemos a dupla desigualdade
Passo 4
Explico por que isso é útil: se uma função
satisfaz
e se
quando
, então pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) temos
quando
.
Aqui, basta ver que
porque
e
quando
e
, logo a soma tende a
. Assim a função
é um limite superior que tende a
.
Aplicando o Teorema do Confronto à desigualdade do passo 3, conclui-se que
Passo 5
Complemento didático (método alternativo que frequentemente aparece em provas): usar coordenadas polares. Defina
, então
e
é equivalente a
. Escrevendo
, a função vira
Como
, temos
. Mesmo resultado, via outra visão — útil quando a expressão depende apenas de
.