Calcule os limites, se existirem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}.
  • O ponto onde a variável dupla se aproxima é (0,0).
  • Não há divisão por zero no ponto nem em nenhuma vizinhança próxima, pois o denominador é x^{2}+y^{2}+1\ge1.

Passo 2

Primeiro, observo limites inferiores e superiores naturais para a função. Note que x^{2}\ge0 e y^{2}\ge0 para todo (x,y). Assim o numerador x^{2}+y^{2} é não-negativo, e o denominador x^{2}+y^{2}+1 é estritamente positivo. Portanto
0 \le \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}.
Esta é a desigualdade inferior (a função nunca é negativa).

Passo 3

Agora uma desigualdade superior simples. Como x^{2}+y^{2}+1 \ge 1, dividir x^{2}+y^{2} por algo maior ou igual a 1 torna o quociente menor ou igual a x^{2}+y^{2}. Logo
\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1} \le x^{2}+y^{2}.
Juntando com a desigualdade do passo anterior, obtemos a dupla desigualdade
0 \le \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1} \le x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Explico por que isso é útil: se uma função g(x,y) satisfaz 0\le f(x,y)\le g(x,y) e se g(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0), então pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) temos f(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0).
Aqui, basta ver que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}+y^{2}=0,
porque x^{2}\to0 e y^{2}\to0 quando x\to0 e y\to0, logo a soma tende a 0. Assim a função x^{2}+y^{2} é um limite superior que tende a 0.
Aplicando o Teorema do Confronto à desigualdade do passo 3, conclui-se que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}=0.

Passo 5

Complemento didático (método alternativo que frequentemente aparece em provas): usar coordenadas polares. Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, então r\ge0 e (x,y)\to(0,0) é equivalente a r\to0^{+}. Escrevendo x^{2}+y^{2}=r^{2}, a função vira
\frac{r^{2}}{r^{2}+1}.
Como r\to0^{+}, temos \dfrac{r^{2}}{r^{2}+1}\to\dfrac{0}{0+1}=0. Mesmo resultado, via outra visão — útil quando a expressão depende apenas de x^{2}+y^{2}.

Resposta

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