Funções definidas por partes: Para cada função h(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} & \frac{1}{2} & \text { se } x \neq 2 \\\\ 5, & \text { se } x=2\end{array}\right.
Dotermine \lim _{2} h(x).
Passo 1
O enunciado dá a função por partes. Peguei as informações assim:
Para x\neq 2: h(x)=x^{2}.
Para x=2: h(2)=5.
O que o enunciado pede: determinar \lim_{x\to 2} h(x).
Passo 2
O que significa \lim_{x\to 2} h(x)? Intuitivamente é o valor que os valores de h(x) se aproximam quando x fica cada vez mais perto de 2 (mas sem precisar ser exatamente 2). Importante: o limite depende apenas do comportamento de h(x) para x próximos de 2, e não do valor que a função tem exatamente em x=2. Ou seja, o valor h(2)=5 NÃO influencia diretamente o limite — salvo quando a expressão para x\neq2 também dá esse mesmo valor.
Passo 3
Como para todos os x próximos de 2 (com x\neq2) vale h(x)=x^{2}, para calcular \lim_{x\to2}h(x) basta calcular \lim_{x\to2} x^{2}. Agora uma regra que usamos frequentemente: polinômios (como x^{2}) são contínuos em todo ponto, isto é,
\lim_{x\to a} x^{2} = a^{2}
para qualquer a. Essa propriedade permite simplesmente substituir x=a quando a função é polinomial.
Passo 4
Aplicando a propriedade para a=2:
\lim_{x\to2} x^{2} = 2^{2}.
Agora calculamos 2^{2}: 2\cdot 2 = 4. Portanto o limite procurado é 4. Observação adicional (útil para a prova): embora \lim_{x\to2} h(x)=4, temos h(2)=5, logo a função é descontínua em x=2. Esse tipo de descontinuidade é removível — bastaria redefinir h(2)=4 para tornar h contínua em 2.