Calcule os limites, quando existirem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{5 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}.
Informações relevantes:
  • A expressão envolve a função seno avaliada em 5x.
  • Queremos o valor do quociente quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Lembrete importante (fato clássico que vamos usar). Há um limite fundamental que costuma ser ensinado nas primeiras aulas de cálculo e que é usado direto em provas:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Esse resultado vale para a função seno com argumento t tendendo a zero. Vou explicar por que isso vale (de forma didática) antes de aplicar ao nosso problema.

Passo 3

Prova didática e curta do limite \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1 usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).
  1. Para t em (0,\tfrac{\pi}{2}) vale, por geometria do círculo unitário (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas),
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1.
(Explicação informal: desenhando o círculo unitário e comparando áreas/segmentos obtém-se essas desigualdades; quem já viu a prova geométrica reconhece esse passo. Se preferir, pense que para t>0 pequeno, \sin t é um pouco menor que t, mas próximo, e \cos t tende a 1 quando t\to0.)
  1. Tomando limites em cada parte da desigualdade quando t\to 0^+, e lembrando que \lim_{t\to0}\cos t=1 e \lim_{t\to0}1=1, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{t\to0^+}\frac{\sin t}{t}=1.
  1. Para o lado negativo, use que \sin é ímpar, ou seja, \sin(-t)=-\sin t. Assim
\frac{\sin(-t)}{-t}=\frac{\sin t}{t},
o que mostra que o limite vindo da direita e da esquerda coincide. Portanto
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 4

Aplicação ao nosso limite: substituição de variável. Seja u=5x. Quando x\to 0 temos u\to 0. Reescrevendo a expressão em função de u:
\frac{\sin(5x)}{5x}=\frac{\sin u}{u}.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{5x}=\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}.

Passo 5

Usando o resultado do Passo 3, que diz que \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1, concluímos imediatamente que
\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{5x}=1.

Resposta

1

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