Calcule os limites, quando existirem:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes:
- A expressão envolve a função seno avaliada em
. - Queremos o valor do quociente quando
se aproxima de .
Passo 2
Lembrete importante (fato clássico que vamos usar). Há um limite fundamental que costuma ser ensinado nas primeiras aulas de cálculo e que é usado direto em provas:
Esse resultado vale para a função seno com argumento
tendendo a zero. Vou explicar por que isso vale (de forma didática) antes de aplicar ao nosso problema.
Passo 3
Prova didática e curta do limite
usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).
- Para
em vale, por geometria do círculo unitário (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas),
(Explicação informal: desenhando o círculo unitário e comparando áreas/segmentos obtém-se essas desigualdades; quem já viu a prova geométrica reconhece esse passo. Se preferir, pense que para
pequeno,
é um pouco menor que
, mas próximo, e
tende a 1 quando
.)
- Tomando limites em cada parte da desigualdade quando
, e lembrando que e , pelo Teorema do Confronto concluímos que
- Para o lado negativo, use que
é ímpar, ou seja, . Assim
o que mostra que o limite vindo da direita e da esquerda coincide. Portanto
Passo 4
Aplicação ao nosso limite: substituição de variável. Seja
. Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
:
Portanto
Passo 5
Usando o resultado do Passo 3, que diz que
, concluímos imediatamente que
Resposta
1