Resolva as integrais indefinidas:
\int 12 x^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 12 x^{5}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função 12 x^{5}. A resposta deve ser uma primitiva dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=12x^{5}, mais uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Regra que vamos usar (regra do fator constante): se a é uma constante e f(x) é integrável, então
\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Isto significa que podemos tirar o 12 para fora da integral:
\int 12 x^{5}\,dx = 12\int x^{5}\,dx.
Explicando rápido: integrar é o processo inverso de derivar; multiplicar por uma constante antes da integração é o mesmo que multiplicar a primitiva por essa constante.

Passo 3

Regra principal que vamos aplicar (regra da potência): para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
Pequena demonstração da regra da potência: a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{1}{n+1}\cdot (n+1)x^{n}=x^{n},
logo \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é uma primitiva de x^{n}.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao caso n=5:
\int x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{6} + C.
Agora retornando ao fator constante que tiramos:
12\int x^{5}\,dx = 12\left(\frac{x^{6}}{6} + C\right).

Passo 5

Simplificando a expressão:
12\left(\frac{x^{6}}{6} + C\right)=12\cdot\frac{x^{6}}{6}+12C=2x^{6}+C',
onde C'=12C é outra constante arbitrária (normalmente escrevemos simplesmente +C).

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza): derivando 2x^{6}+C obtemos
\frac{d}{dx}\big(2x^{6}+C\big)=2\cdot 6x^{5}=12x^{5},
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

2x^{6}+C

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