Calcule os limites se existirem:
\lim _{x \rightarrow \pi}\left(\frac{1}{e}\right)^{\left[\frac{\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos (x)}\right]}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: calcular o limite
\lim_{x\to\pi}\left(\frac{1}{e}\right)^{\left[\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos(x)}\right]}
  • Informação dada: a função dentro do limite é a potência de base \dfrac{1}{e} elevando-se à expressão entre colchetes \left[\dfrac{\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\cos(x)}\right].
  • Observação sobre a notação (importante): a escrita com colchetes \left[\,\cdot\,\right] costuma, em exercícios, representar a parte inteira (ou função piso) do número indicado. Vou resolver o problema assumindo essa interpretação (função “piso”). Depois mostro rapidamente o que acontece se os colchetes forem apenas parênteses de agrupamento.

Passo 2

Primeiro passo técnico: avaliar o limite da fração interior sem o colchete, ou seja
f(x)=\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos(x)}
quando x\to\pi. Substituindo diretamente:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos(\pi)=-1,
logo
\lim_{x\to\pi} f(x)=\frac{1}{-1}=-1.
Isto mostra que o valor da fração tende para -1. Mas, se os colchetes forem a função piso, precisamos saber como f(x) se comporta ao redor de \pi: se tende para -1 por valores maiores que -1 (ex.: -0{,}9) ou por valores menores que -1 (ex.: -1{,}1), pois a parte inteira pode mudar (por exemplo \lfloor-0{,}9\rfloor=-1 enquanto \lfloor-1{,}1\rfloor=-2).

Passo 3

Para ver o comportamento de f(x) próximo de x=\pi, fazemos uma expansão em torno de \pi. Escreva x=\pi+h com h\to0. Então:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi+h}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{h}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{h}{2}\right).
Usamos a expansão padrão de cosseno para pequenos argumentos:
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o(t^{2})\quad (t\to0).
Aplicando com t=\dfrac{h}{2} obtemos
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{h}{2}\right)=1 - \frac{1}{2}\left(\frac{h}{2}\right)^{2} + o(h^{2}) = 1 - \frac{h^{2}}{8} + o(h^{2}).
Para o denominador,
\cos x = \cos(\pi+h) = -\cos h = -\Big(1 - \frac{h^{2}}{2} + o(h^{2})\Big) = -1 + \frac{h^{2}}{2} + o(h^{2}).

Passo 4

Agora formamos a razão f(x):
f(x)=\frac{1 - \dfrac{h^{2}}{8} + o(h^{2})}{-1 + \dfrac{h^{2}}{2} + o(h^{2})}.
É conveniente escrever isso como um negativo:
f(x) = -\frac{1 - \dfrac{h^{2}}{8} + o(h^{2})}{1 - \dfrac{h^{2}}{2} + o(h^{2})}.
Usando a expansão \dfrac{1+a}{1+b}=1+(a-b)+o(h^{2}) para termos de ordem h^{2}, obtemos
\frac{1 - \dfrac{h^{2}}{8} + o(h^{2})}{1 - \dfrac{h^{2}}{2} + o(h^{2})} = 1 +\Big(-\frac{h^{2}}{8} -\big(-\frac{h^{2}}{2}\big)\Big) + o(h^{2}) = 1 + \frac{3}{8}h^{2} + o(h^{2}).
Portanto
f(x) = -\Big(1 + \frac{3}{8}h^{2} + o(h^{2})\Big) = -1 - \frac{3}{8}h^{2} + o(h^{2}).
Conclusão importante: para h\neq0 pequeno (ou seja, para x suficientemente perto de \pi, mas x\neq\pi), tem-se f(x) < -1. Além disso, como o termo extra é da ordem h^{2} (positivo), f(x) fica estritamente entre -2 e -1 para h suficientemente pequeno.

Passo 5

Agora usemos isso para a função com colchetes, assumindo que \left[\,\cdot\,\right] é a função piso (parte inteira). Para x próximo de \pi mas x\neq\pi, acabámos de ver que
-2 < f(x) < -1,
portanto a parte inteira (piso) de f(x) é
\left\lfloor f(x)\right\rfloor = -2
para todo x suficientemente próximo de \pi (à exceção do próprio ponto x=\pi, onde f(\pi)=-1 e \lfloor f(\pi)\rfloor=-1, mas isso não altera o limite porque o limite considera x\to\pi com x\neq\pi). Assim, no entorno de \pi (exceto no ponto), o expoente é constantemente -2. Logo a função do enunciado fica, para x próximo de \pi e x\neq\pi,
\left(\frac{1}{e}\right)^{\left[\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos(x)}\right]} = \left(\frac{1}{e}\right)^{-2}.
Isso é constante igual a e^{2} nessa vizinhança (porque \left(\dfrac{1}{e}\right)^{-2}=e^{2}). Portanto o limite existe e vale e^{2}.

Passo 6

Comentário rápido sobre a alternativa (se os colchetes forem apenas agrupamento): se \left[\,\cdot\,\right] significasse apenas parênteses de agrupamento (isto é, o expoente fosse exatamente f(x) sem piso), então pela continuidade da função exponencial multiplicada a substituição direta daria
\lim_{x\to\pi}\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos(x)}} = \left(\frac{1}{e}\right)^{-1} = e.
Mas, repetindo, a resolução principal assumiu que os colchetes são a parte inteira; nesse caso o resultado correto é e^{2}.

Resposta

e^{2}

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