Calcule os limites se existirem:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: calcular o limite
- Informação dada: a função dentro do limite é a potência de base
elevando-se à expressão entre colchetes . - Observação sobre a notação (importante): a escrita com colchetes
costuma, em exercícios, representar a parte inteira (ou função piso) do número indicado. Vou resolver o problema assumindo essa interpretação (função “piso”). Depois mostro rapidamente o que acontece se os colchetes forem apenas parênteses de agrupamento.
Passo 2
Primeiro passo técnico: avaliar o limite da fração interior sem o colchete, ou seja
quando
. Substituindo diretamente:
logo
Isto mostra que o valor da fração tende para
. Mas, se os colchetes forem a função piso, precisamos saber como
se comporta ao redor de
: se tende para
por valores maiores que
(ex.:
) ou por valores menores que
(ex.:
), pois a parte inteira pode mudar (por exemplo
enquanto
).
Passo 3
Para ver o comportamento de
próximo de
, fazemos uma expansão em torno de
. Escreva
com
. Então:
Usamos a expansão padrão de cosseno para pequenos argumentos:
Aplicando com
obtemos
Para o denominador,
Passo 4
Agora formamos a razão
:
É conveniente escrever isso como um negativo:
Usando a expansão
para termos de ordem
, obtemos
Portanto
Conclusão importante: para
pequeno (ou seja, para
suficientemente perto de
, mas
), tem-se
. Além disso, como o termo extra é da ordem
(positivo),
fica estritamente entre
e
para
suficientemente pequeno.
Passo 5
Agora usemos isso para a função com colchetes, assumindo que
é a função piso (parte inteira). Para
próximo de
mas
, acabámos de ver que
portanto a parte inteira (piso) de
é
para todo
suficientemente próximo de
(à exceção do próprio ponto
, onde
e
, mas isso não altera o limite porque o limite considera
com
). Assim, no entorno de
(exceto no ponto), o expoente é constantemente
. Logo a função do enunciado fica, para
próximo de
e
,
Isso é constante igual a
nessa vizinhança (porque
). Portanto o limite existe e vale
.
Passo 6
Comentário rápido sobre a alternativa (se os colchetes forem apenas agrupamento): se
significasse apenas parênteses de agrupamento (isto é, o expoente fosse exatamente
sem piso), então pela continuidade da função exponencial multiplicada a substituição direta daria
Mas, repetindo, a resolução principal assumiu que os colchetes são a parte inteira; nesse caso o resultado correto é
.