Calcule os limites se existirem:
\lim _{x \rightarrow 1} \ln \left(\frac{2 x^{2}-x-1}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1} \ln\!\left(\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão dentro do logaritmo é \dfrac{2x^{2}-x-1}{x-1}.
  • Para x=1 temos numerador 2\cdot1^{2}-1-1=0 e denominador 1-1=0, ou seja, a substituição direta dá uma forma do tipo \dfrac{0}{0} para a fração interna.
  • O logaritmo natural \ln(\cdot) só está definido para argumentos positivos; portanto é preciso garantir que a expressão dentro do \ln seja positiva quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Vamos tratar primeiro a fração interna. Para eliminar a indeterminação \dfrac{0}{0} costumamos fatorar o numerador quando possível.
Considere o polinômio quadrático 2x^{2}-x-1. Para fatorar, encontro as raízes da equação
2x^{2}-x-1=0.
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), o discriminante é
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9.
As raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{1\pm 3}{4}.
Logo as raízes são x=1 e x=-\tfrac{1}{2}. Assim o polinômio se factoriza como produto de fatores lineares:
2x^{2}-x-1=(x-1)\,(2x+1).
(Verificação rápida: (x-1)(2x+1)=2x^{2}-x-1.)

Passo 3

Com a fatoração, para x\neq 1 a fração simplifica:
\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}=\frac{(x-1)(2x+1)}{x-1}=2x+1\qquad (x\neq 1).
Como o limite x\to 1 não se preocupa com o valor exatamente em x=1, podemos usar essa expressão simplificada para avaliar o comportamento da fração quando x se aproxima de 1. Portanto
\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot 1+1=3.
Observação alternativa (opcional): poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital à fração original, pois era uma forma \tfrac{0}{0}. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(2x^{2}-x-1)=4x-1,\qquad \frac{d}{dx}(x-1)=1,
e avaliando em x=1 obtém-se (4\cdot1-1)/1=3, concordando com a fatoração.

Passo 4

Agora precisamos ligar isso ao logaritmo. Primeiro, verificar que o argumento do \ln é positivo perto de x=1: pela simplificação pegamos que, para x próximo de 1 (mas x\neq 1),
\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}=2x+1,
e 2x+1 em x=1 vale 3>0. Portanto existe um entorno de x=1 onde 2x+1>0, logo o argumento do \ln é positivo nesse entorno e o \ln está bem definido.
Sabendo disso, usamos que a função \ln é contínua no intervalo (0,\infty). Assim, se a parte interna tende a 3 (um número positivo), o limite do logaritmo é o logaritmo do limite interno:
\lim_{x\to 1}\ln\!\left(\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}\right) =\ln\!\left(\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}\right).

Passo 5

Aplicando o resultado do Passo 3 no passo anterior (continuidade do \ln), obtemos o valor final do limite.
Força aí — faltam poucos passos na sua revisão; essa técnica de fatorar quadráticos e usar a continuidade de funções elementares cai muito em prova.

Resposta

\ln 3

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