Calcule os limites se existirem:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - Para
temos numerador e denominador , ou seja, a substituição direta dá uma forma do tipo para a fração interna. - O logaritmo natural
só está definido para argumentos positivos; portanto é preciso garantir que a expressão dentro do seja positiva quando se aproxima de .
Passo 2
Vamos tratar primeiro a fração interna. Para eliminar a indeterminação
costumamos fatorar o numerador quando possível.
Considere o polinômio quadrático
. Para fatorar, encontro as raízes da equação
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), o discriminante é
As raízes são
Logo as raízes são
e
. Assim o polinômio se factoriza como produto de fatores lineares:
(Verificação rápida:
.)
Passo 3
Com a fatoração, para
a fração simplifica:
Como o limite
não se preocupa com o valor exatamente em
, podemos usar essa expressão simplificada para avaliar o comportamento da fração quando
se aproxima de
. Portanto
Observação alternativa (opcional): poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital à fração original, pois era uma forma
. Derivando numerador e denominador:
e avaliando em
obtém-se
, concordando com a fatoração.
Passo 4
Agora precisamos ligar isso ao logaritmo. Primeiro, verificar que o argumento do
é positivo perto de
: pela simplificação pegamos que, para
próximo de
(mas
),
e
em
vale
. Portanto existe um entorno de
onde
, logo o argumento do
é positivo nesse entorno e o
está bem definido.
Sabendo disso, usamos que a função
é contínua no intervalo
. Assim, se a parte interna tende a
(um número positivo), o limite do logaritmo é o logaritmo do limite interno:
Passo 5
Aplicando o resultado do Passo 3 no passo anterior (continuidade do
), obtemos o valor final do limite.
Força aí — faltam poucos passos na sua revisão; essa técnica de fatorar quadráticos e usar a continuidade de funções elementares cai muito em prova.