Calcule os limites, se existirem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) da função
\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} definida em todos os pontos com (x,y)\neq(0,0).
  • Queremos saber se \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 2

Testando caminhos simples: primeiro tome a reta x=0. Substituindo,
f(0,y)=\frac{0^{2}\cdot y}{0^{2}+y^{2}}=0.
Portanto, ao aproximar por x=0 o limite é 0.

Passo 3

Agora a reta y=0. Substituindo,
f(x,0)=\frac{x^{2}\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=0.
Logo, ao aproximar por y=0 o limite também é 0.

Passo 4

Teste por uma reta genérica y=mx (com m constante). Substituindo y=mx em f,
f(x,mx)=\frac{x^{2}\cdot (m x)}{x^{2}+(m x)^{2}}=\frac{m x^{3}}{x^{2}(1+m^{2})}=\frac{m x}{1+m^{2}}.
Quando x\to0 isto tende a 0 para todo m. Observação: resultados iguais em várias retas sugerem que o limite pode ser 0, mas isso não é prova definitiva (existem funções que têm o mesmo valor em todas as retas e ainda assim não têm limite).

Passo 5

Para uma prova robusta, use coordenadas polares. Faça a mudança
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Note que (x,y)\to(0,0) se, e somente se, r\to0^{+} (o ângulo \theta pode variar). Substituindo na função:
\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)}{r^{2}}=r\cos^{2}\theta\sin\theta.
Portanto a função em polares é g(r,\theta)=r\cos^{2}\theta\sin\theta.

Passo 6

Faça uma estimativa do valor absoluto:
\left|r\cos^{2}\theta\sin\theta\right|=r\left|\cos^{2}\theta\sin\theta\right|.
Como |\cos\theta|\le 1 e |\sin\theta|\le 1 para todo \theta, tem-se \left|\cos^{2}\theta\sin\theta\right|\le 1. Assim
\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right| \le r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 7

Aplicando o Teorema do Apertador (squeeze theorem): temos
-\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Como \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \displaystyle \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\to 0. Logo o limite existe e vale 0.

Passo 8

(Se quiser uma prova \varepsilon- \delta rápida:) dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, pela desigualdade do passo anterior,
\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon,
o que demonstra formalmente que o limite é 0.

Resposta

0

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