Quando x\to0 isto tende a 0 para todo m. Observação: resultados iguais em várias retas sugerem que o limite pode ser 0, mas isso não é prova definitiva (existem funções que têm o mesmo valor em todas as retas e ainda assim não têm limite).
Passo 5
Para uma prova robusta, use coordenadas polares. Faça a mudança
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Note que (x,y)\to(0,0) se, e somente se, r\to0^{+} (o ângulo \theta pode variar). Substituindo na função:
Como \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \displaystyle \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\to 0. Logo o limite existe e vale 0.
Passo 8
(Se quiser uma prova \varepsilon-\delta rápida:) dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, pela desigualdade do passo anterior,