Calcule os limites, se existirem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}.
Informações importantes dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}.
  • O ponto ao qual (x,y) se aproxima é (0,0).
  • A pergunta implícita é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Vamos lembrar um critério prático muito usado em limites de funções de duas variáveis (explicando devagar como combiná-lo na prova):
  • Definição intuitiva: o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe se, quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho, os valores f(x,y) se aproximam do mesmo número L.
  • Estratégia padrão para mostrar que o limite NÃO existe: encontrar dois (ou mais) caminhos que levam a (0,0) pelos quais f(x,y) converge a valores diferentes. Se dois caminhos produzem limites distintos, então não há um único L que funcione para todos os caminhos, logo o limite não existe.
    Vamos aplicar essa estratégia aqui: escolher caminhos simples que permitam substituir x em função de y (ou vice-versa) e calcular o limite unidimensional resultante.

Passo 3

Escolha do primeiro caminho: o eixo x=0. Neste caminho (x,y)\to(0,0) com x=0 e y\to0.
Substituindo x=0 na função:
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{2}}{0^{2}+y^{4}}=0.
Logo, ao longo do caminho x=0 temos
\lim_{y\to0} f(0,y)=0.
Portanto um possível valor de limite ao aproximar por esse caminho é 0.

Passo 4

Escolha do segundo caminho: a parábola x=y^{2}. Neste caminho (x,y)\to(0,0) com x=y^{2} e y\to0.
Substituindo x=y^{2} na função:
f(y^{2},y)=\frac{(y^{2})\,y^{2}}{(y^{2})^{2}+y^{4}}=\frac{y^{4}}{y^{4}+y^{4}}=\frac{y^{4}}{2y^{4}}=\frac{1}{2},
para todo y\neq0. Assim,
\lim_{y\to0} f(y^{2},y)=\frac{1}{2}.
Portanto, ao aproximar por x=y^{2} o valor da função tende a \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Comparação dos resultados dos dois caminhos:
  • Pelo caminho x=0 o limite é 0.
  • Pelo caminho x=y^{2} o limite é \tfrac{1}{2}.
Como esses dois limites são diferentes, não pode existir um único número L que seja o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) por todos os caminhos. Portanto o limite não existe.

Passo 6

(Complemento didático que ajuda na prova: família de caminhos) Para entender melhor a dependência do caminho, considere a família x=k y^{2} com k\in\mathbb{R}. Substituindo,
f(k y^{2},y)=\frac{k y^{4}}{k^{2}y^{4}+y^{4}}=\frac{k}{k^{2}+1}.
Vemos que o valor limite ao longo desse caminho é \dfrac{k}{k^{2}+1}, que depende de k. Escolhendo k=0 0; escolhendo k=1 \tfrac{1}{2}; escolhendo outros k dá outros valores. Isso reforça que não existe um único limite comum.

Resposta

Não existe.

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