Calcule os limites, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações importantes dadas:
- A função considerada é
. - O ponto ao qual
se aproxima é . - A pergunta implícita é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Vamos lembrar um critério prático muito usado em limites de funções de duas variáveis (explicando devagar como combiná-lo na prova):
- Definição intuitiva: o limite
existe se, quando se aproxima de por qualquer caminho, os valores se aproximam do mesmo número . - Estratégia padrão para mostrar que o limite NÃO existe: encontrar dois (ou mais) caminhos que levam a
pelos quais converge a valores diferentes. Se dois caminhos produzem limites distintos, então não há um único que funcione para todos os caminhos, logo o limite não existe.
Vamos aplicar essa estratégia aqui: escolher caminhos simples que permitam substituirem função de (ou vice-versa) e calcular o limite unidimensional resultante.
Passo 3
Escolha do primeiro caminho: o eixo
. Neste caminho
com
e
.
Substituindo na função:
Substituindo
Logo, ao longo do caminho
temos
Portanto um possível valor de limite ao aproximar por esse caminho é
.
Passo 4
Escolha do segundo caminho: a parábola
. Neste caminho
com
e
.
Substituindo na função:
Substituindo
para todo
. Assim,
Portanto, ao aproximar por
o valor da função tende a
.
Passo 5
Comparação dos resultados dos dois caminhos:
- Pelo caminho
o limite é . - Pelo caminho
o limite é .
Como esses dois limites são diferentes, não pode existir um único número
que seja o limite de
quando
por todos os caminhos. Portanto o limite não existe.
Passo 6
(Complemento didático que ajuda na prova: família de caminhos) Para entender melhor a dependência do caminho, considere a família
com
. Substituindo,
Vemos que o valor limite ao longo desse caminho é
, que depende de
. Escolhendo
dá
; escolhendo
dá
; escolhendo outros
dá outros valores. Isso reforça que não existe um único limite comum.
Resposta
Não existe.