Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
no
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da função
no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar analisar como a função se comporta quando
se aproxima de 4 e
se aproxima de 3 ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de
e
na função para ver o que acontece:
A gente obteve uma forma indeterminada
, o que significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Precisamos de outra estratégia.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão do limite. Observamos que o numerador contém a diferença de raízes quadradas. Uma técnica útil aqui é racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela soma das raízes:
Passo 4
Fazendo essa multiplicação, o numerador se simplifica usando a identidade
:
Passo 5
Agora, podemos simplificar a expressão cancelando o termo
no numerador e denominador:
Passo 6
Com a função simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo
e
:
Resposta
O limite é
.