Calcule os limites indicados, aplicando as propriedades:
\lim _{x \rightarrow 1} \sqrt{\frac{x-1}{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1}\sqrt{\frac{x-1}{x^{2}-1}}.
Aqui vamos usar duas ideias principais: a fatoração da diferença de quadrados e a continuidade da função raiz quadrada sobre valores positivos.

Passo 2

Note que, para x\neq1,
x^{2}-1 = (x-1)(x+1),
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\frac{x-1}{x^{2}-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}.

Passo 3

Com isso, o limite dentro da raiz fica
\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^{2}-1} = \lim_{x\to1}\frac{1}{x+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Como a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua para t>0 e o valor \tfrac12 é positivo, podemos passar o limite para dentro da raiz:
\lim_{x\to1}\sqrt{\frac{x-1}{x^{2}-1}} = \sqrt{\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^{2}-1}} = \sqrt{\frac12} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{2}}

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