Calcule os limites no infinito e diga se o resultado resulta em uma assíntota horizontal.:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+2}}
e verificar se, com isso, surge uma assíntota horizontal. O conteúdo é “limites no infinito” e “assíntota horizontal”. Vamos usar fatoração de \sqrt{x} e desenvolvimento assintótico.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por \sqrt{x}:
\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+2}} =\frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}}{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{2}{x}}} =\frac{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}}.

Passo 3

Analisamos \displaystyle\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}. Primeiro,
\sqrt{x+\sqrt{x}} =\sqrt{x}\,\sqrt{1+x^{-\tfrac12}} =\sqrt{x}\,\Bigl(1+\tfrac12x^{-\tfrac12}+O(x^{-1})\Bigr) =\sqrt{x}+\tfrac12+O(x^{-\tfrac12}).
Logo
\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x} =x^{-\tfrac12}+\tfrac{1}{2x}+O(x^{-\tfrac32}) =x^{-\tfrac12}+O(x^{-1}).

Passo 4

Substituindo no quociente, temos
\frac{\sqrt{1+x^{-\tfrac12}+O(x^{-1})}}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}}.
Usando \sqrt{1+\varepsilon}=1+\tfrac12\varepsilon+O(\varepsilon^2), obtemos
\sqrt{1+x^{-\tfrac12}+O(x^{-1})} =1+\tfrac12x^{-\tfrac12}+O(x^{-1}), \quad \sqrt{1+\tfrac{2}{x}} =1+\tfrac1{x}+O(x^{-2}).
Portanto o quociente fica
\frac{1+\tfrac12x^{-\tfrac12}+O(x^{-1})}{1+\tfrac1{x}+O(x^{-2})}.

Passo 5

Quando x\to+\infty, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 1, logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+2}}=1.
Como o limite é finito e igual a 1, a função admite assíntota horizontal y=1.

Resposta

O limite é 1. Há assíntota horizontal y=1.

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