Calcule os limites no infinito e diga se o resultado resulta em uma assíntota horizontal.:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x-4}{x-1}\right)^{x+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{x-4}{x-1}\Bigr)^{x+3}
e verificar se esse valor constante gera uma assíntota horizontal quando x\to -\infty. Vamos usar a técnica de reescrever a base no formato 1+\frac{\text{pequeno}}{\text{grande}}.

Passo 2

Reescrevemos a fração na base como
\frac{x-4}{x-1} =\frac{(x-1)-3}{x-1} =1-\frac{3}{x-1}.

Passo 3

O expoente x+3 pode ser decomposto em
x+3=(x-1)+4,
para separar a potência em dois fatores:
\Bigl(1-\frac{3}{x-1}\Bigr)^{x+3} =\Bigl(1-\frac{3}{x-1}\Bigr)^{x-1} \;\Bigl(1-\frac{3}{x-1}\Bigr)^{4}.

Passo 4

Aplicamos o limite conhecido
\lim_{u\to\pm\infty}\Bigl(1+\frac{a}{u}\Bigr)^{u}=e^{a}.
Aqui, com u=x-1 e a=-3, temos
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1-\frac{3}{x-1}\Bigr)^{x-1} =e^{-3}.

Passo 5

O outro fator fica
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1-\frac{3}{x-1}\Bigr)^{4} =1^{4}=1.

Passo 6

Multiplicando os resultados dos fatores, obtemos
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{x-4}{x-1}\Bigr)^{x+3} =e^{-3}\cdot1 =e^{-3}.

Resposta

\displaystyle e^{-3}. Como o limite é uma constante, a curva tem assíntota horizontal y=e^{-3} quando x\to -\infty.

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