Calcule os limites (justifique a resposta):
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right).
Informações dadas explicitamente:
  • A expressão é a diferença entre duas raízes quadradas com argumentos que crescem como x^{2}.
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, valores grandes e positivos de x).

Passo 2

Observação didática sobre o tipo de dificuldade: para x grande cada termo \sqrt{x^{2}+1} e \sqrt{x^{2}-1} é grande (da ordem de x), então a expressão é do tipo “infinito menos infinito” — um caso que costuma ser indeterminado. Um truque clássico e muito útil nesse tipo de situação é multiplicar a expressão pela sua conjugada para transformar a diferença de raízes em uma razão onde o numerador simplifica. Vou explicar esse truque passo a passo.
Sejam a=\sqrt{x^{2}+1} e b=\sqrt{x^{2}-1}. A conjugada de a-b é a+b. Note que
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Multiplicar a expressão original por \dfrac{a+b}{a+b} não altera seu valor, mas transforma a diferença em uma diferença de quadrados no numerador, que simplifica bem.

Passo 3

Aplicando o truque da conjugada à expressão:
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}\bigr)}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.
No numerador usamos a identidade de diferença de quadrados e obtemos
\frac{(x^{2}+1)-(x^{2}-1)}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.
Portanto a expressão original é igual a
\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.
Esse passo é importante: transformamos a diferença de duas quantidades grandes em uma fração com numerador fixo 2 e denominador que cresce com x, o que facilita ver o limite.

Passo 4

Agora vamos estudar o comportamento do denominador quando x\to+\infty. Para x>0 vale |x|=x, então podemos fatorar x dentro das raízes:
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}},\qquad \sqrt{x^{2}-1}=x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}.
Assim o denominador fica
\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1} = x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}\right).
Para x\to+\infty os termos \dfrac{1}{x^{2}} vão para 0. Pela continuidade da função raiz quadrada, tem-se
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\to 1 \quad\text{e}\quad \sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}\to 1,
logo a soma entre parênteses tende a 2. Portanto o denominador comporta-se como x\cdot 2=2x quando x cresce, isto é, tende para +\infty. Como o numerador é o número fixo 2, a fração tende para 0.
Também dá para ver uma estimativa simples que confirma a taxa: para x grande
0<\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}=\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}<\frac{2}{2\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\sim\frac{1}{x},
e \dfrac{1}{x}\to 0. Isso reforça que o limite é 0.

Passo 5

Conclusão didática: usando a conjugada transformou-se uma indeterminação do tipo “infinito menos infinito” em uma razão cujo denominador cresce sem limite enquanto o numerador permanece fixo. Assim o valor da expressão vai para zero quando x\to+\infty. Essa técnica (racionalizar pela conjugada) é muito útil sempre que aparecer diferença de raízes em limites.

Resposta

\,0\,

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