Calcule os limites (justifique a resposta):
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas explicitamente:
- A expressão é a diferença entre duas raízes quadradas com argumentos que crescem como
. - A variável
tende para (ou seja, valores grandes e positivos de ).
Passo 2
Observação didática sobre o tipo de dificuldade: para
grande cada termo
e
é grande (da ordem de
), então a expressão é do tipo “infinito menos infinito” — um caso que costuma ser indeterminado. Um truque clássico e muito útil nesse tipo de situação é multiplicar a expressão pela sua conjugada para transformar a diferença de raízes em uma razão onde o numerador simplifica. Vou explicar esse truque passo a passo.
Sejam
e
. A conjugada de
é
. Note que
Multiplicar a expressão original por
não altera seu valor, mas transforma a diferença em uma diferença de quadrados no numerador, que simplifica bem.
Passo 3
Aplicando o truque da conjugada à expressão:
No numerador usamos a identidade de diferença de quadrados e obtemos
Portanto a expressão original é igual a
Esse passo é importante: transformamos a diferença de duas quantidades grandes em uma fração com numerador fixo
e denominador que cresce com
, o que facilita ver o limite.
Passo 4
Agora vamos estudar o comportamento do denominador quando
. Para
vale
, então podemos fatorar
dentro das raízes:
Assim o denominador fica
Para
os termos
vão para
. Pela continuidade da função raiz quadrada, tem-se
logo a soma entre parênteses tende a
. Portanto o denominador comporta-se como
quando
cresce, isto é, tende para
. Como o numerador é o número fixo
, a fração tende para
.
Também dá para ver uma estimativa simples que confirma a taxa: para
grande
e
. Isso reforça que o limite é
.
Passo 5
Conclusão didática: usando a conjugada transformou-se uma indeterminação do tipo “infinito menos infinito” em uma razão cujo denominador cresce sem limite enquanto o numerador permanece fixo. Assim o valor da expressão vai para zero quando
. Essa técnica (racionalizar pela conjugada) é muito útil sempre que aparecer diferença de raízes em limites.