Calcule os limites (justifique a resposta):
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite da função
quando
tende a
. As informações dadas são os polinômios do numerador
e do denominador
. A pergunta é: qual o valor desse limite e como justificá-lo.
Passo 2
A ideia básica é que, quando
se torna muito grande, os termos com as maiores potências de
dominam o comportamento dos polinômios. Neste caso, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é o termo em
. Uma forma direta de explorar isso é dividir o numerador e o denominador pela mesma potência de
(neste caso, por
) para explicitar quais termos tendem a zero.
Passo 3
Dividindo o numerador e o denominador por
(o que é válido para
, e estamos interessados em
), obtemos:
Passo 4
Agora, analisamos o limite termo a termo. Usamos o conhecimento de que, para qualquer inteiro
,
. Isso ocorre porque, à medida que
cresce sem limite, o inverso
se torna arbitrariamente pequeno. Aplicando isso aos termos presentes, temos:
Passo 5
Usando as propriedades de limites (limite da soma/razão quando o denominador tende a um número não nulo), tomamos o limite da expressão obtida no Passo 3 termo a termo:
Isso é permitido porque o limite do denominador é
, então a divisão é válida.
Passo 6
O limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente de
no numerador é
, no denominador é
), portanto
. A divisão por
que fizemos formaliza essa ideia.