Calcule os limites (justifique a resposta):
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{3}+2 x^{2}-3}{3 x^{3}-x+5}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função \frac{2x^{3}+2x^{2}-3}{3x^{3}-x+5} quando x tende a +\infty. As informações dadas são os polinômios do numerador 2x^{3}+2x^{2}-3 e do denominador 3x^{3}-x+5. A pergunta é: qual o valor desse limite e como justificá-lo.

Passo 2

A ideia básica é que, quando x se torna muito grande, os termos com as maiores potências de x dominam o comportamento dos polinômios. Neste caso, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é o termo em x^{3}. Uma forma direta de explorar isso é dividir o numerador e o denominador pela mesma potência de x (neste caso, por x^{3}) para explicitar quais termos tendem a zero.

Passo 3

Dividindo o numerador e o denominador por x^{3} (o que é válido para x\neq0, e estamos interessados em x\to+\infty), obtemos:
\frac{2x^{3}+2x^{2}-3}{3x^{3}-x+5} = \frac{\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{3}{x^{3}}}{\dfrac{3x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{x}{x^{3}}+\dfrac{5}{x^{3}}} = \frac{2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^{3}}}{3-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora, analisamos o limite termo a termo. Usamos o conhecimento de que, para qualquer inteiro k\ge1, \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{k}}=0. Isso ocorre porque, à medida que x cresce sem limite, o inverso 1/x^{k} se torna arbitrariamente pequeno. Aplicando isso aos termos presentes, temos:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{3}}=0.

Passo 5

Usando as propriedades de limites (limite da soma/razão quando o denominador tende a um número não nulo), tomamos o limite da expressão obtida no Passo 3 termo a termo:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^{3}}}{3-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Big(2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^{3}}\Big)}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Big(3-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}\Big)} = \frac{2+0-0}{3-0+0} = \frac{2}{3}.
Isso é permitido porque o limite do denominador é 3\neq0, então a divisão é válida.

Passo 6

O limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente de x^{3} no numerador é 2, no denominador é 3), portanto \dfrac{2}{3}. A divisão por x^{3} que fizemos formaliza essa ideia.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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