Calcule os limites:
lim x +infty raiz[3]5 x^3+2 x-1raiz3 x^2+x+1

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyraiz[3]5x^3+2x-1raiz3x^2+x+1
Aqui vamos usar limites em +infty envolvendo radicais: a estratégia é fatorar a maior potência de x dentro de cada radical e depois aplicar as regras de limite.

Passo 2

Fatoramos x^3 no radicando do radical cúbico e x^2 no do radical quadrático:
raiz[3]5x^3+2x-1 = raiz[3]x^3l(5 + tfrac2x^2 - tfrac1x^3r) = x;raiz[3]5 + tfrac2x^2 - tfrac1x^3,
raiz3x^2+x+1 = raizx^2l(3 + tfrac1x + tfrac1x^2r) = x;raiz3 + tfrac1x + tfrac1x^2

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, obtemos
raiz[3]5x^3+2x-1raiz3x^2+x+1 = x,raiz[3]5 + tfrac2x^2 - tfrac1x^3x,raiz3 + tfrac1x + tfrac1x^2 = raiz[3]5 + tfrac2x^2 - tfrac1x^3raiz3 + tfrac1x + tfrac1x^2

Passo 4

Agora fazemos xto+infty. Os termos tfrac2x^2, tfrac1x^3, tfrac1x e tfrac1x^2 vão a zero, logo
raiz[3]5 + tfrac2x^2 - tfrac1x^3;longrightarrow;raiz[3]5, raiz3 + tfrac1x + tfrac1x^2;longrightarrow;raiz3

Passo 5

Concluímos que
limxto+inftyraiz[3]5x^3+2x-1raiz3x^2+x+1 = raiz[3]5raiz3

Resposta

raiz[3]5raiz3

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