Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 0^{-}} \frac{\operatorname{sen}^{2}(3 t)}{t \sqrt{t} \tan (\sqrt{1})}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{t\to0^-}\frac{\operatorname{sen}^2(3t)}{t\sqrt{t}\,\tan(\sqrt{1})}.
Aqui vamos usar o fato de que para x pequeno vale
\operatorname{sen}(x)\sim x,
além de notar que \tan(\sqrt{1})=\tan(1) é constante.

Passo 2

Aproxime \operatorname{sen}(3t) por sua equivalência para t\to0:
\operatorname{sen}(3t)\sim3t \qquad\Longrightarrow\qquad \operatorname{sen}^2(3t)\sim9t^2.

Passo 3

No denominador temos o fator constante \tan(1). Substituindo a aproximação do numerador, o quociente fica
\frac{\operatorname{sen}^2(3t)}{t\sqrt{t}\,\tan(1)} \sim \frac{9t^2}{t\sqrt{t}\,\tan(1)}.

Passo 4

Simplifique a potência de t:
\frac{9t^2}{t\sqrt{t}} =9\,t^{2-1-\tfrac12} =9\,t^{\tfrac12}.
Logo a expressão inteira vale aproximadamente
\frac{9\,t^{\tfrac12}}{\tan(1)}.

Passo 5

Quando t\to0^-, embora \sqrt{t} não seja real, o módulo |t|^{1/2} tende a zero. Assim
t^{\tfrac12}\;\longrightarrow\;0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{\tan(1)}\,t^{\tfrac12}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

0

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