Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x(3 x+\operatorname{sen} x)}{2 x^{3}-5 x \operatorname{sen}(x)+1};

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x\bigl(3x+\sin x\bigr)}{2x^3-5x\sin x+1} e \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x\bigl(3x+\sin x\bigr)}{2x^3-5x\sin x+1}.
O conteúdo envolve limites de funções racionais misturadas com um termo oscilatório \sin x à medida que x cresce em módulo.

Passo 2

Observe o comportamento dos termos de maior grau em x no numerador e no denominador:
\text{numerador} = x\,(3x+\sin x) = 3x^2 + x\sin x,
\text{denominador} = 2x^3 - 5x\sin x + 1.
Como \sin x é limitado por -1\le\sin x\le1, temos x\sin x=O(x) e -5x\sin x=O(x), que são termos de grau menor que x^2 no numerador e x^3 no denominador.

Passo 3

Fatoramos x^3 no denominador e x^2 no numerador para evidenciar a ordem de grandeza:
\frac{x(3x+\sin x)}{2x^3-5x\sin x+1} = \frac{x^2\Bigl(3+\frac{\sin x}{x}\Bigr)}{x^3\Bigl(2 - \frac{5\sin x}{x^2} + \frac{1}{x^3}\Bigr)} = \frac{1}{x}\;\frac{3+\frac{\sin x}{x}}{2 - \frac{5\sin x}{x^2} + \frac{1}{x^3}}.

Passo 4

Ao fazer x\to\pm\infty, os termos \frac{\sin x}{x}, \frac{\sin x}{x^2} e \frac{1}{x^3} tendem a zero. Logo na fração interna
\frac{3+\frac{\sin x}{x}}{2 - \frac{5\sin x}{x^2} + \frac{1}{x^3}} \longrightarrow \frac{3+0}{2-0+0} = \frac{3}{2}.
Assim
\frac{1}{x}\;\frac{3+\frac{\sin x}{x}}{2 - \frac{5\sin x}{x^2} + \frac{1}{x^3}} \sim \frac{1}{x}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{2x},
e portanto esse produto tende a zero quando x\to+\infty e também quando x\to-\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x(3x+\sin x)}{2x^3-5x\sin x+1}=0 \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x(3x+\sin x)}{2x^3-5x\sin x+1}=0

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