Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow \infty}\left(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}, \arctan t, \frac{1-e^{-2 t}}{t}\right).

Passo 1

O enunciado pede os três limites quando t \to \infty:
\lim_{t\to\infty}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},\qquad \lim_{t\to\infty}\arctan t,\qquad \lim_{t\to\infty}\frac{1-e^{-2t}}{t}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as três expressões são funções de t e a variável t tende a +\infty. Não há outras condições.

Passo 2

Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}.
Mini-aula rápida: quando uma razão de polinômios é tomada para t\to\infty, a técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de t presente (aqui t^{2}). Isso simplifica e mostra o comportamento dominante das potências.
Aplicando isso:
\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}} = \frac{t^{-2}+1}{t^{-2}-1}.
Quando t\to\infty temos t^{-2}\to 0. Então a expressão tende a
\frac{0+1}{0-1}=\,-1.
Portanto
\lim_{t\to\infty}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}=-1.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty}\arctan t.
Mini-aula rápida: a função \arctan x é a inversa da função \tan x restrita ao intervalo \big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Sabemos que \arctan x é contínua, estritamente crescente e tem limites de extremidade
\lim_{x\to -\infty}\arctan x=-\tfrac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to +\infty}\arctan x=\tfrac{\pi}{2}.
Intuição/justificativa: se y=\arctan t então \tan y=t. Para que \tan y cresça sem limite, y deve aproximar-se de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 existe T tal que para todo t>T temos \arctan t>\tfrac{\pi}{2}-\varepsilon, logo o limite é \tfrac{\pi}{2}.
Portanto
\lim_{t\to\infty}\arctan t=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{1-e^{-2t}}{t}.
Mini-aula rápida: e^{-2t} tende a 0 quando t\to\infty. A expressão 1-e^{-2t} tende a 1. Dividir um número que tende a uma constante finita por t\to\infty normalmente dá 0, mas vamos ser precisos usando o Teorema do Confronto (squeeze):
Observação: para todo t\ge 0 vale 0\le e^{-2t}\le 1, então 0\le 1-e^{-2t}\le 1. Dividindo por t>0 (para t grande),
0 \le \frac{1-e^{-2t}}{t} \le \frac{1}{t}.
Como \displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}=0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{t\to\infty}\frac{1-e^{-2t}}{t}=0.

Passo 5

Resumo dos resultados obtidos nos passos anteriores:
  • Primeiro limite: -1.
  • Segundo limite: \tfrac{\pi}{2}.
  • Terceiro limite: 0.

Resposta

-1
\tfrac{\pi}{2}
0

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