Calcule os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede os três limites quando
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as três expressões são funções de
e a variável
tende a
. Não há outras condições.
Passo 2
Calcular
.
Mini-aula rápida: quando uma razão de polinômios é tomada para
, a técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui
). Isso simplifica e mostra o comportamento dominante das potências.
Aplicando isso:
Quando
temos
. Então a expressão tende a
Portanto
Passo 3
Calcular
.
Mini-aula rápida: a função
é a inversa da função
restrita ao intervalo
. Sabemos que
é contínua, estritamente crescente e tem limites de extremidade
Intuição/justificativa: se
então
. Para que
cresça sem limite,
deve aproximar-se de
pela esquerda. Formalmente, para qualquer
existe
tal que para todo
temos
, logo o limite é
.
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Mini-aula rápida:
tende a
quando
. A expressão
tende a
. Dividir um número que tende a uma constante finita por
normalmente dá
, mas vamos ser precisos usando o Teorema do Confronto (squeeze):
Observação: para todo
vale
, então
. Dividindo por
(para
grande),
Como
, pelo Teorema do Confronto segue que
Passo 5
Resumo dos resultados obtidos nos passos anteriores:
- Primeiro limite:
. - Segundo limite:
. - Terceiro limite:
.